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La corde vibrante théorique

Avertissement: bien qu'allégée au maximum de sa partie mathématique, cette page peut effrayer le lecteur moyen qui pourra se contenter de lire la partie pratique, voire, ... de zapper toute la page.

Théorie - Theory

 

1 Définition de la corde vibrante théorique:

Il s'agit d'une corde:

  • infiniment souple,
  • parfaitement élastique
  • de longueur L = l/2
  • de masse linéique µ constante,
  • insensible à la gravitation,
  • susceptible de faibles déformations dans la direction y du plan xy,
  • soumise à une tension T

NB:

  • "infiniment souple", signifie:
    1  qu'elle n'a aucune raideur, qui se traduirait par des appuis plus complexes que les simples deux points symbolisant, une frette d'un côté, et le chevalet de l'autre côté (les mécaniciens théoriques diraient alors qu'il ne s'agit plus d'une corde, mais d'une poutre vibrante),
    2 et qu'elle transmet sur toute sa longueur une tension de valeur T constante et parallèle à la corde en chacun de ses points,
     
  • "parfaitement élastique", assure que son étirement éventuel reste proportionnel à sa tension T , sans aucune mémoire d'étirement, et sans aucune perte d'énergie par frottement interne.
    Elle obéit alors à la loi de Hook, où     T = Eδl/l, avec E (module d'Young) constant.
    (la tension T est proportionelle à l'allongement relatif     δl/l).

Ses déplacements sont considérés comme "très faibles" et on négligera ses éventuelles vibrations de torsion, ainsi que les vibrations longitudinales, négligeables dans le cadre de l'acoustique.

Une telle corde n'existe évidemment pas dans la réalité, mais elle simule assez bien une corde existante, employée en lutherie pour la production des sons.

2 Equation du mouvement de la corde vibrante théorique et ses solutions (Euler, Bernoulli, d'Alembert et Fourier):

Equation générale, dite de d'Alembert:

Le temps étant désigné par t, on peut démonter (ce qui n'est pas notre propos), qu'elle obéit à l'équation différentielle suivante, dite "équation de la corde vibrante" (sous certaines conditions de continuité):

∂2y/∂x2 = ∂2y/∂t21/c2 où c2 = T/µ (équation dite de d'Alembert)
soumise à des "conditions aux limites" supposées connues, par exemple:
y(x, 0), forme de la corde au temps initial t=0

Ondes stationnaires, éléments de la solution générale

Si, de plus, une telle corde vibre en appuis sur deux points fixes (le chevalet et une frette), on peut également démontrer (ce qui n'est également pas notre propos) que, sous  des conditions de continuité suffisantes, le déplacement y (fonction de x et de t), qui est de moyenne nulle, peut se mettre sous la forme d'une série (ou somme d'une infinité dénombrable de termes) convergente de la forme:

y = ∑n=1n=∞ [an sin(2π n f t + φn) sin (2π n x/l)]

où:
an et φn sont des coefficients fixes, dépendants de n
et déterminées par les conditions aux limites

et où:
  f = c/l = √T/µ /l

On en déduit immédiatement que le déplacement y est périodique dans le temps, de période 1/f.
La série étant convergente, on en déduit également que les termes de rang n vont en décroissant quand n augmente indéfiniment.

Les tous éléments constituants la série sont dénommés "ondes stationnaires", ou "modes propres" ou "modes naturels" de vibration de la corde.
Ils constituent, en quelque sort, les "briques" qui permettent de décrire tout mouvement y(x,t) possible de la corde théorique.

Le premier terme de la série, a1 sin(2π  f t + φ1) sin (2π  x/l), est désigné par vibration fondamentale.
Il est périodique dans le temps, de période 1/f, comme le déplacement total (y), mais, de plus, périodique dans l'espace, de longueur d'onde l.

Le nième terme, an sin(2π n f t + φn) sin (2π n x/l), est désigné par le nom de nième harmonique de la fondamentale.
Il est périodique

  • dans le temps, de période 1/nf,

  • mais, de plus, périodique dans l'espace, de longueur d'onde l/n.

On peut aussi dire que l'harmonique de rang n consiste en;

  •  une sinusoïde matérielle: [sin (2π  x/l)]

  • modulée dans le temps par un sinusoïde temporelle: [sin(2π n f t + φn)]

NB: en fonction des auteurs, nième terme peut être désigné par:
nième harmonique de la fondamentale,
ou bien par:
(n-1)ième harmonique de la fondamentale,
suivant le fait que la fondamentale est considérée, soit comme le terme de rang 0, soit, tel que sur cette page, comme celui de rang 1.

Ici, le nième terme est donc le (n-1)ième harmonique de la fondamentale, la fondamentale étant le terme de rang 1 (fréquence: 1 x f), le premier harmonique étant de rang 2 (fréquence: 2 x f), etc.

Le cas de vibrations situées dans d'autres plans obéirait à des règles identiques, une vibration quelconque pouvant être considérée comme la somme de vibrations élémentaires dans deux plans.
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En pratique - Practical

 

Cas le plus général de vibration:

Tout mouvement d'une corde théorique se compose donc d'une somme de vibrations, dites élémentaires:

  • d'une vibration, dite fondamentale, de longueur d'onde l = 2L, de fréquence  f = c/l = √T/µ /2L

  • à laquelle se superposent, avec une phase φn et une amplitude an déterminées, plusieurs vibrations (voire une infinité), dites harmoniques de la fondamentale, de fréquence nf (dans le temps) et de longueur d'onde l/n (dans l'espace)

Ces vibrations élémentaires, ou ondes stationnaires, également dites "modes propres" ou "modes naturels", peuvent éventuellement exister (si an ≠ 0) ou, ne pas exister (si an = 0).

De plus, la périodicité dans l'espace, de longueur d'onde l/n, indique que la corde se retrouve scindée en n fuseaux de longueurs l/2n = L/n égales, comprenant certains points remarquables.

  • pour un mode propre, certains points (n + 1, au total) restent immobiles , et sont désignés par le terme de noeuds de vibration pour ce mode,

  • certains points (n, au total) sont soumis à un maximum d'élongation et sont désignés par le terme de ventres de vibration pour ce mode.

En particulier, si un point possède une vitesse nulle au temps initial t=0, il ne peut être qu'un noeud de vibration, qualité qu'il conservera indéfiniment, pour que la solution réelle satisfasse toujours aux conditions aux limites.

C'est le cas, par exemple, des extrémités (sillet et chevalet, fixes par définition), mais aussi  d'un éventuel point de pincement de la corde (par un médiator, un doigt, ou autre artifice), simplement lâché, sans vitesse d'impulsion.

Remarque importante:

Il peut sembler étrange que la longueur d'onde l de la fondamentale soit le double de la longueur de corde L.

Cependant, au regard de la forme intuitive de la corde vibrant dans ce mode, on voit qu'il manque la partie symétrique pour reconstituer une vibration sinusoïdale complète, donc une longueur d'onde complète.

CQFD

Exemples visuels d'ondes stationnaires animées
(Source, Université du Mans, http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/ondesta.html)

 

 Vous pouvez modifier:

  • le nombre de ventres, de 1 à 7 (n'oubliez pas de valider)
  • les conditions aux limites: extrémité droite fixe (cas de la corde vibrante à deux appuis), ou libre (cas qui sort de notre propos, stricto sensu)
  • la vitesse d'animation, qui est ici la représentation métaphorique de la fréquence f.

Il s'agit ici de la synthèse additive purement mathématique d'une vibration, par addition de vibrations élémentaires, qui se traduit par la notion de note musicale en acoustique, à priori indépendante des travaux de D'Alembert ou Fourier.

Le lien vient du fait que, pour des vibrations suffisamment faibles (telles que celles qui concernent l'acoustique), on constate que le système physiologie de notre écoute reproduit fidèlement la perception d'une telle sommation.

Autrement dit, l'écoute simultanée de plusieurs notes élémentaires, émises séparément, est identique à celle de la note complexe, émise globalement.

NB: pour des vibrations dites "non linéaires" voir la page concernant les "sons résultants".

 

Pour être complet, on peut dire, en oubliant ici la démonstration rigoureuse (mais trop lourde) du propos, que, masse linéique constante, souplesse infinie et élasticité parfaite, assurent la production de potions aliquotes (de longueurs identiques) de la corde, qui engendrent des notes élémentaires de fréquences nf, exactement multiples d'une fréquence f.
Physiologiquement, c'est le critère qui permet à l'oreille d'identifier sans ambiguïté la nature exacte d'un note musicale et, particulièrement, sa hauteur. 

NB: Enfin, on doit préciser que les amplitudes an tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment.
En pratique, généralement (mais pas à tous coups) en acoustique, on constate que la fondamentale possède la plus grande amplitude (a1), et que l'amplitude (an) des harmoniques va en décroissant, quand n augmente.

Exemples divers (after Dr. Dan Russell, Kettering University):
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/string/Fixed.html

L'animation suivante montre les vibrations d'une corde à deux point fixes, dans ses quatre premiers modes de vibration.

La périodicité dans le temps est visible sous la forme de mouvement.
On voit que les fréquences doublent d'un mode à l'autre, depuis la fondamentale, en passant par les second. troisième, et quatrième harmoniques.

La périodicité dans l'espace est représentée par la forme des courbes.
On y distingue visiblement les n+1 noeuds et les  n ventres des vibrations des quatre modes considérés

Autre exemple, vibrations d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au 1/3 de sa longueur:

Lorsqu'une telle corde est mise en vibration par un ébranlement (au travers d'un médiator, doigt ou autre moyen), elle vibrera simultanément selon ses nombreuses fréquences de résonance naturelles.

La façon dont la détermination exacte de ces résonances naturelles façonne la vibration finale de la corde, dépend de la forme de son déplacement initial.

Le "dessin animé" sur la gauche montre la vibration d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au tiers de sa longueur. Vous pouvez observer que la vibration montre deux ondes, l'une progressant de gauche à droite, l'autre dans le sens inverse. Le temps d'un voyage complet est égal à une période de la fondamentale.

 

 

Le théorème de Fourier indique que toute fonction périodique de t, de fréquence f (dite fréquence fondamentale), de moyenne nulle, peut être reconstruite, d'une seule façon, à partir d'une somme de fonctions (dites harmoniques de la fondamentale), de la forme sin(nft) et cos(nft), dotées des amplitudes appropriées (sous certaines conditions de régularité).

Ce théorème est donc une sorte de réciproque de mon approche de la corde théorique, qu'il justifierait "a posteriori".

La figure de gauche montre l'amplitude et la phase des six premiers modes naturels de vibration qui s'additionnent pour reconstituer la position initiale de la corde précédente, ébranlée au tiers de sa longueur (la forme exacte réclamerait TOUTES les valeurs de n, jusqu'à l'infini).

[code des couleurs: somme, n=1, n=2, n=3, n=4, n=5, n=6 ]

Vous pouvez remarquer que les modes correspondants à n=3 et n=6 sont absents. Ca résulte du fait que les modes vibratoires possédant un noeud au point d'ébranlement ne seront pas sollicités. Il en sera ainsi pour tous les modes multiples de 3 (3f et ses harmoniques), pour satisfaire les conditions aux limites.

Exemple animé d'une corde pincée en un point choisi

D'après le site de l'Université de Nantes, animation due à Yves Cortial Professeur de Physique au Lycée Clémenceau.

Explication:

Une corde théorique de longueur L, tendue entre les points A(0) et B(L), est lâchée du point C d'abscisse a, sans vitesse initiale au temps t=0.
Un point M d'abscisse x subit une élongation Y(x,t)

Les harmoniques choisis sont visibles en vert et le mouvement de la corde (résultant de la somme de tous les harmoniques) est visible en rouge.

Vous pouvez choisir:

  • le point C(a), dit point de pincement
  • l'amplitude h de la hauteur du pincement
  • l'harmonique dont vous voulez consulter l'évolution au cours du temps
  • le point M(x) de la corde dont vous voulez suivre le mouvement
  • un temps t précis, ou son déroulement

Cliquez ici pour voir l'animation sur le site de l'Université de Nantes,
dans une autre fenêtre
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Poil à gratter - Itching powder

 

Vous me connaissez?
                             Non?
                                          Hé bien vous sauriez que je suis assez fainéant.

Par exemple, je m'étais promis... jadis, d'écrire à votre intention une théorie de la corde vibrante, spécialement adaptée à votre sagacité. Mais je cherchais une présentation originale et concise d'un problème déjà traité (et parfois maltraité) en abondance dans la littérature.

En effet, théoriquement, tout repose sur l'équation des cordes vibrantes et sur le théorème de Fourier, indigérables par des âmes curieuses mais pas spécialement virtuoses en mathématiques.

Hé bien mes amis, contrairement à l'espoir de mes détracteurs, je l'ai fait,

                                                                                          ... même si on peut faire mieux.

Les légitimes teigneux insatisfaits pourront utilement faire une recherche sur Google en composant "séries de Fourier" ou "équation des cordes vibrantes", et en évitant d'écrire "Fourrier" pour "Fourier", ... comme je le fais trop souvent.

                                    
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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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