I - La Gamme Bien Tempérée Théorique (GBTT, en abrégé):

Cette gamme n'est ni la plus récente, ni la meilleure, ni la plus juste des gammes utilisées, ... dans la mesure où il existerait une telle merveille.

En particulier, un piano classique, accordé strictement suivant la GBTT, sonnerait comme une casserolle fêlée.

Cependant, c'est la gamme utilisée pour le calcul usuel de l'emplacement des frettes, le système MIDI, et pour la plupart des instruments électroniques (accordeurs compris).

Elle est basée sur trois principes générateurs qui déterminent totalement la fréquence de chaque demi-ton:

1 - L'idée de départ en est la justesse absolue des octaves.

NB: certaines gammes, comme celle du "tempérament égal à quintes justes" de Serges Cordier (TEQJ), ne respectent pas cette règle.

C'est à dire que les fréquences en sont toutes multiples ou diviseurs pairs exacts de la fréquence d'une note de référence.

Ainsi, le "La" ou La₃ du diapason moderne, bat à 440 Hertz et donne son nom, par extension, aux harmoniques et sous harmoniques suivants (limités aux harmoniques théoriquement audibles entre 20 Hz et 20 kHz):

Bien que théoriquement distinctes, par leurs fréquences et leurs perceptions auditives, toutes ces notes ont un caractère ressenti "suffisamment" commun, pour être désignées sous le même nom générique de La.

Ces notes, toutes appelée La, aux fréquences multiples ou sous-multiples pairs du La₃ (440) sont dites octaves, ou sous octaves, du La₃ (440) et, toujours par extension, le même nom d'«octave» est donné à l'écart en chacune de ces notes consécutives.

Donc une octave désigne à la fois:

• une note de fréquence multiple, ou diviseur, pair d'une note choisie
• l'écart entre deux notes, octaves consécutives l'une de l'autre

Par exemple le La₂ (220) et le La₃ (440) sont des notes octaves l'une de l'autre et leur écart est également nommé octave.

Premier principe: si f0 est la fréquence d'une note, sa nième octave bat exactement à la fréquence f = f0x2n où n peut être positif, négatif ou nul.

2 - Ensuite,  chaque écart d'une octave est divisé en 12 parties, que je nomme demi-tons dodécaphoniques, soient 13 notes ou degrés, en comptant les deux notes extrêmes (qui sont donc deux notes octaves consécutives).

Ces degrés sont nommées, à partir de chaque note La:

Cette dénomination est étendue à tous les rangs, qu'ils soient  inférieurs à 0 ou supérieurs à 12.

Second principe: si un degré est de rang n , ses notes octaves seront de rang 12+n. Donc, si fn est sa fréquence, celle de sa première octave sera 2 fn=fn+12

 

3 - Enfin, chaque degré doit pouvoir être le point de départ d'une nouvelle échelle de degrés identique

Alors f_n+1/f_n=µ doit rester constant, indépendant de n.

Et on a: 2 f_n=f_n+12=µ¹²x f_n, soit µ = 2^1/12

µ=2^1/12 est donc l'écart multiplicatif unique et constant qui sépare les fréquences de deux notes adjacentes, c'est à dire deux notes séparées d'un demi tons.

Troisième principe: la fréquence d'un degré de rang n est donc, par rapport au rang de départ (rang 0, par définition): fn=f02n/12

En résumé:

Chaque octave est divisée en 12 demi tons complètement identiques, permettant la transposition de tout morceau de musique dans tous les 12 demi tons. Les notes altérées par les dièses et bémols ne sortent pas des 12 demi-tons ici nommés "dodécaphoniques ". Par exemple Do# est strictement identique à Réb de même que Dob est confondu avec Si etc.

NB: le terme, ici employé, de "demi-ton docécaphonique" est un néologisme qui correspond aux trois règles génératrices énumérées ici, mais qui désigne tout autre chose que le qualificatif "docécaponique", appliqué à un genre musical.

II -Emplacement (ou position) des frettes 

En revanche, la longueur utile d'une corde (distance entre chevalet et frette) varie en sens inverse de la fréquence, de sorte qu'une corde de longueur utile L à vide devient, si n est le rang du demi ton choisi, à partir de la note à vide:

Et la distance entre sillet de tête et frette est alors:

Les matheux férus de calculs "vieux style" sortiront leurs tables de logarithmes népériens (notés "Log") ou décimaux (notés "log"), en tenant compte du fait que :

2ⁿ= 10^n.log2= e^n.Log2

Les normaux (non matheux) ou fainéants ... me feront confiance, ...c'est toujours ça de pris sur l'ennemi du Corse (le travail).