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Index:
Poil à gratter (âmes sensibles, s'abstenir)
Fenêtre de lecture - équation fondamentale du micro
Avant-propos: pricipe du point fixe et changement de variable
Attendez-vous au pire! (âmes sensibles, s'abstenir)
Coefficient linéique d'influence ponctuelle d'une corde - sa mesure
Poil à gratter (âmes sensibles, s'abstenir)
Etude de quatre positions particulières - influence de l'emplacement du micro
En 1857, Alexander Graham Bell fait breveter le microphone électromagnétique, ou microphone à réluctance variable. Cette date correspond à l’invention du premier microphone transducteur électroacoustique réellement utilisable, transformant une onde acoustique en force électromotrice.
La théorie, ici appliquée au micro de la guitare électrique, si elle se veut rigoureuse, n'en est pas moins parsemée de digressions utiles, mais volontairement présentées sous une forme frivole, destinée à éviter la lassitude du lecteur.
Que les pisse-froid passent leur chemin, la connaissance n'est pas pour eux.
La théorie ici présentée
concerne exclusivement le micro de guitare électrique le plus
classique, dit "micro électromagnétique", ou parfois
"micro à réluctance variable", même s'il
n'est plus électroacoustique
comme l'original de 1857, mais
électromécanique.
Comme
nous allons le voir, il transforme en effet la vitesse
de vibration mécanique des cordes
en force
électromotrice.
En fait, trois difficultés sont à résoudre.
1) La première vient en partie du fait que l'interaction corde-micro est plus complexe qu'on l'a cru.
En effet, le champ magnétique générateur (l'induction magnétique, à proprement parler), indépendant du temps, et créé par le micro, induit un champ secondaire à l'intérieur même des cordes ferromagnétiques, qui réagissent en produisant un champ magnétique extérieur aux cordes, qui perturbe le champ générateur créé par les micros.
|
En résumé, on a affaire à trois types de champs d'induction magnétique, intimement liés:
|
Or c'est précisément ce champ de perturbation, variable dans le temps, dont la variation de flux dans les bobines induit la force électromotrice qui apparaît en leur sein.
Malheureusement, si le champ
perturbateur dépend effectivement du champ générateur, il dépend
également du champ induit DANS les cordes, donc de la perméabilité
magnétique desdites cordes, ainsi que de leur géométrie. Et, dans
la mesure où le calcul en serait possible, on s'aperçoit qu'une
telle approche du champ perturbateur réclamerait des moyens
algorithmiques colossaux, à mettre en œuvre "au cas par cas"
au cours du temps.
Qui plus est, on se demande comment on
pourrait réaliser en pratique la mesure directe qu'un tel champ, à
la fois, très faible, et variable au cours du temps
2) D'un autre côté, deux phénomènes musicaux expérimentaux, d'ordre géométrique (ou topologique), réclament une explication, si possible commune:
Il est évident au musicien averti, que la "forme" générale du champ magnétique des différents micros influe sur leurs sonorités propres.
Il lui est également évident que l'emplacement d'un micro sur la guitare, influe également sur sa sonorité.
3)
Plus classique, l'influence des impédances internes et externes au
micro, rajoute sa participation à la sonorité générale.
La solution proposée ici, consiste à employer la notion de réluctance, qui permet de lier "vitesse de corde" et "variation de flux", sans nécessiter le calcul effectif du champ perturbateur.
Puis on verra qu'une telle approche introduit automatiquement les deux notions topologiques, de "forme" générale du champ, et d'emplacement du micro, par l'intermédiaire d'un coefficient de pondération caractéristique du micro, tout en reportant au chevalet l'origine des mesures de longueur de la corde vibrante, ainsi qu'en éliminant explicitement la position des éventuelles frettes.
Dès lors, apparaîtra une méthode de mesure indirecte du champ perturbateur, avec la notion de "coefficient linéique d'influence ponctuelle" d'une corde.
Ensuite, on étudiera l'influence des impédances, au rôle secondaire, par trop privilégié dans les textes classiquement publiés jusqu'alors.
Enfin, on verra que la théorie de la "fenêtre de lecture" induit naturellement une "dualité" entre deux déplacements: celui du miro et celui du point de pincement de la corde.
L'origine "htlm" des textes ne permettant pas toutes les notations mathématiques usuelles, il est convenu, en principe:
que les constantes ne portent aucun style,
le symbole de la différentielle soit noté d (en italique) et les intégrations, simplement ∫,
les variables soient notées en italique gras,
les fractions soient notées "/",
les vecteurs portent un surlignage.
Comme l'indique le titre de la page, il s'agit d'une théorie.
C'est-à-dire quelle se doit de prévoir le maximum de faits connus du guitariste, en accord avec les principes universels de la physique.
Mais cette théorie, bien que cohérente avec les lois de l'électromagnétisme, ne restera qu'une hypothèse, tant que les expériences quantitatives n'ont pas été réalisées, en particulier sur le coefficient linéique d'influence ponctuelle k, d'une corde sur un micro.
1. Généralités sur la réluctance d'un circuit magnétique:
Considérons un circuit magnétique qui traverse un circuit électrique de N spires de courant I. Dans le circuit magnétique, la circulation de l'excitation magnétique Ha due à l'aimantation (dérivant d'un potentiel uniforme) est nulle. donc la circulation de l'excitation H le long d'une courbe γ se résume à celle de l'excitation Hc liée aux courants du circuit électrique.
∫γ Hdl = ∫γ Hcdl
Si la courbe traverse le circuit, d'après le théorème d'Ampère:
∫γ Hdl = ∫γ Hcdl = NI
Si la courbe γ est une ligne du champ , alors on peut écrire:
∫γ Hdl = ∫γ Hdl=NI
Enfin, pour une section droite S du circuit (tube de champ), assez faible par rapport à la longueur du même circuit pour que le champ magnétique B puisse être considéré comme constant, alors le flux Φ de B (conservatif) s'écrit, tout au long du circuit de perméabilité magnétique µ:
Φ = BS = µHS
Alors, tout au long du circuit magnétique, on a:
|
NI = ∫γ Hdl = Φ∫γ Φdl/µS = R Φ où R = ∫γ dl/µS , caractéristique de l'ensemble du circuit magnétique, est dite réluctance du circuit |
2. Dans le cas d'un micro électromagnétique pour guitare, le circuit magnétique est constitué des aimants et pièces polaires, en série avec l'entrefer micro/corde et la corde de diamètre D, pour se refermer (en passnant éventuellement à l'infini), d'un pôle Nord vers un pôle Sud.
De plus ce circuit magnétique traverse un circuit électrique: une bobine de N spires, de self L et parcourue par un courant I.
Si on considère un tube de champ de section S, partant du pôle Nord des aimants et traversant:
le circuit aimants/pièces polaires, de perméabilité µ1, de longueur l
l'entrefer aimants/corde, de longueur ß et de perméabilité µ0 (celle du vide),
une corde de perméabilité magnétique µ,
l'entrefer de retour vers le pôle Sud, de perméabilité µ0,
alors la réluctance totale est la somme:
de la réluctance du système aimanté: l/µ1S
de la réluctance du premier entrefer: ß/µ0S
de la réluctance de la corde: D/µS
du retour aérien au pole Sud, où S tend vers l'infini, et donc la réluctance, vers 0
Soit R = l/µ1S + ßµ0S + D/µS = 1/S(l/µ1 + ß/µ0 + D/µ), avec µ0<<µ1 et µ0<<µ
D'où NI/Φ = R ≈ ß/µ0S
En raison de la faible perméabilité magnétique de l'air,
la réluctance globale ne dépend sensiblement que de celle de l'entrefer aérien entre micro et corde.
Soit:
|
Φ ≈ SNIµ0/ß |
, en remarquant que la surface S
alors considérée:
s'appuie
sur la corde,
et possède la longueur attribuée à la fenêtre de
lecture.
3. Petits mouvements de la corde:
D'après la loi de Lenz et la définition de la self induction L, il apparaît une f.e.m. induite U(t) aux bornes de la bobine, telle que (si d représente le symbole de la différentielle d'une fonction):
U = - d(LI)/dt = -dΦ /dt
soit
U = -LdI/dt - IdL/dt
En application du théorème d'Ampère:
RΦ = RLI = NI soit RL =constante
Dans le cas de petits mouvements y(t) autour de la position ß au repos, alors:
ß devient ß-y
la réluctance R0 = NI/Φ ≈ d/µ0S devient R = R0 (1-y/ß)
le courant I0 devient I = I0 + i , avec i << I0
la self induction L0 devient L = L0(1+ y/ß), car RL= constante
U = -LdI/dt - IdL/dt = -L0 di/dt - (IL0 /ß)dy/dt = -L0 di/dt - (Φ0/ß)dy/dt
4. Relation fondamentale du couple corde-micro, ou relation vitesse-f.e.m.:
Finalement, la f.e.m. pure induite est, au signe près:
|
e = (Φ0/ß) v où
|
NB: La théorie,
supposée applicable à un "single coil", est généralisable
à un "humbucker", avec une seconde réluctance active en
parallèle (second entrefer), et avec un résultat final facilement
transposable.
On peut alors monter (cf. Capteurs.pdf
, page 3, première ligne), que (Φ0/ß)
est le coefficient
de couplage corde/micro, à la fois électrique ET mécanique.
Dans le cas particulier d'une corde vibrante, chaque élément de corde dx intercepte sa contribution dΦ0(x) au flux total, et engendre la f.e.m. de, telle que:
de = ( v/ß) dΦ0
, à comparer à la définition adoptée pour le "coefficient linéique d'influence ponctuelle" k(x) de la corde sur le micro, au point x considéré":
de = kv dx
|
On en tire la valeur, donc une interprétation et légitimation du coefficient k (en weber par mètre carré, soit la dimension d'une induction), jusqu'ici arbitrairement introduit: k = (1/ß) dΦ0/dx Où Φ0(x) est, par exemple, le flux traversant la corde immobile, depuis une extrémité de la fenêtre de lecture, jusqu'au point x, à une constante près. |
On peut ajouter, qu'en toute rigueur, les seuls mouvements perceptibles par un tel micro, sont des mouvements de la corde situés dans la direction de l'axe des pôles, en pratique, les mouvements perpendiculaires à la table de la guitare.
Pfuit!
J'ai eu chaud.
Je n'arrivais pas à justifier par la seule théorie ce "&@*$#" (excusez les gros mots) de coefficient d'influence ponctuel k de la corde, qui me semblait pourtant intuitivement exister.
L'honneur est donc sauf.
Mais il me reste:
à généraliser le coefficient k, pour un mouvement non colinéaire à l'axe des pôles, donc pour un mouvement quelconque, ce qui me semble relativement intuitif en raison de la linéarité des équations liées aux petits mouvements,
si By(x) désigne la composante de B suivant l'axe y des pôles, il serait intéressant de justifier une autre intuition, celle qui consiste à identifier le coiffaient k (homogène à une induction) à (µ/µ0)FBy(x) , où F serait un coefficient sans dimension, ne dépendant que de la forme de la section de corde,
à déterminer, puis appliquer, les protocoles de mesures destinées à conforter définitivement ce qui n'est provisoirement qu'une théorie, certes fortement vraisemblable, mais encore critiquable.
Equation fondamentale, et "timbre" d'un micro.
1 Pour une note donnée
2 Exemples: positions dites "pré-Curillon", "de Curbillon", "intermédiaire" et "de Vendamini"
3 Pour une note complexe
4 La "sonorité" ou "timbre" d'un micro
Avant propos: principe du point fixe et changement de variable:
Les études concernant la sonorité de micros publiés jusqu'à aujourd'hui (1er décembre 2007), sont basées sur une corde théorique:
infiniment souple,
de masse linéique ml constante et connue,
de longueur L (du sillet au chevalet), longueur de corde à vide, ou "diapason", connue,
soumise à une tension T, également connue,
appuyée, d'un côté sur une frette, et de l'autre côté sur le chevalet.
NB: la "corde théorique" est une simplification (parfaitement justifiée pour notre propos) de la corde réelle qui est en réalité, pour le mécanicien théorique, une poutre plus ou moins rigide, plus ou moins encastrée, et susceptible de vibrations plus ou moins "exotiques".
Les divers auteurs se sont alors acharnés à décrire les variations de la sonorité d'un micro, en fonction de la longueur active de la corde entre frettes et chevalet (hautement variable), sans se rendre compte qu'auditivement, le seul paramètre significatif sur la sonorité captée en un point était la distance x (immuable pour ce point) qui sépare ledit point du chevalet.
Il n'est donc pas étonnant qu'aucune des précédentes études n'aboutissent qu'à un échec, comme la simple expérience du musicien aurait du le pressentir.
|
Pourtant, la solution ne réside qu'en
un changement de variable qui
élimine la longueur de la corde frettée
(code appuyée sur le chevalet ET une frette). |
On s'affranchit ainsi de la position matérielle d'une frette, en remplaçant:
des longueur physiques existantes, mais variables, et donc sans signification absolue: à savoir, les distances chevalet-frettes,
par des longueurs théoriques, certes variables, mais hautement représentatives des notes à étudier: à savoir, les longueurs d'ondes, reportées à partir du seul point fixe immuable, le chevalet.
|
Pour étudier les vibrations correspondant à une note en un point situé à la distance x du chevalet, dans la suite de cette page, les paramètres de distances seront exprimés uniquement en fonction de:
|
Définition de l'influence d'un élément de corde en un point:
Un élément de corde de longueur dx, plongé dans le champ magnétique d'un micro, acquière lui-même une aimantation, qui dépend:
du champ engendré par le micro,
du diamètre de la corde,
de la perméabilité magnétique du matériau constitutif de ladite corde.
Cet élément peut être alors assimilé à un dipôle magnétique, dont les mouvements induisent un flux variable dans les bobinages du micro.
Malheureusement, un tel dipôle est très difficile à modéliser avec précision.
Cependant, il est légitime de supposer (avec d, symbole de la différentiation mathématique), qu'un tel élément, doté d'une vitesse v(x,t), induit une force électromotrice élémentaire de, proportionnelle à sa longueur dx et à sa vitesse v, ainsi qu'à un coefficient de proportionnalité k, ne dépendant que du champ au point x et de la nature (géométrie et perméabilité) de la corde en ce point.
Un tel coefficient k répond alors à l'équation:
|
de = kvdx Par définition, on le nommera: "coefficient linéique d'influence ponctuel" de la corde sur le micro, au point x considéré. Ses dimensions sont donc données en weber/mètre carré, soit celle d'une induction magnétique. Le terme "linéique"
rappelle qu'il se rapporte à l'unité de longueur de corde. |
Les théories pullulent sur la variabilité de la sonorité des micros, en fonction de leur structure propre, et de leur emplacement sur la guitare.
Bien souvent, l'impédance du circuit équivalent au micro est invoquée comme déesse nourricière de sa sonorité. Des ouvrages entiers y ont été consacrés, pour arriver au mince résultat ... qu'un single coil "sonne" plus aigu qu'un humbucker.
C'est oublier que, dans le cas d'un ampli du commerce, dit "à haute impédance", le micro est bouclé sur une impédance quasi infinie. Alors, les impédances branchées "en série" deviennent négligeables, quand les impédances supposées "en parallèle" (comme des capacités de fuite localisées ou diffuses), deviennent prépondérantes, ... mais sont classiquement négligées.
De même, on ne compte plus les études sur la variation de la sonorité liée à la localisation du micro sur un point particulier des cordes, sans production de résultats universellement consensuels.
|
J'émets donc une hypothèse peu ou pas évoquée dans la littérature: la sonorité ne serait-elle pas liée à la longueur de l'espace longitudinal capté par le micro, ou longueur utile de corde captée, que je nomme "fenêtre de lecture du micro"? |
On se rapproche alors de l'étude des effets de la forme du champ magnétique associé au micro, effets dont je soupçonne depuis longtemps l'action, sur la sonorité.
On remarquera ici que la fenêtre ainsi définie, peut éventuellement se confondre avec la largeur visible du micro, mais qu'elle peut en être totalement distincte.
Il s'agit en effet d'une fenêtre immatérielle, lieu où le micro est (plus ou moins régulièrement) sensible à une corde vivante métallique.
Cas d'une note pure (voir: la corde vibrante théorique)
On désigne par "note pure", une note se résumant à sa fondamentale, sans aucun harmonique. C'est le cas des modes stationnaires normaux ou fondamentaux.
Le cas général n'est pas oublié, car une note réelle, de fréquence f, peut toujours être considérée comme une somme infinie de telles notes pures, de fréquences f (la fondamentale), 2f, 3f etc. (les harmoniques), ajoutées avec chacune, sa phase et son intensité.
Ceci est valable mathématiquement (théorème de Fourier) et également physiquement, car expérimentalement, toute note peut effectivement être synthétisée (donc perçue auditivement) de cette façon, par émission simultanée de notes pures correctement choisies par le calcul résultant du théorème de Fourier.
La théorie des cordes vibrantes indique qu'alors, la corde vibre selon une sinusoïde variable en fonction de l'espace, elle-même variable en fonction du temps.
A un instant t fixé, l'état de la corde émettant une note pure, ressemble au schéma suivant:
Où L est la longueur totale de la corde, l est la longueur d'onde de la note pure considérée, y est l'élongation de la corde à la distance x du chevalet.
|
Remarque: il s'agit d'appréhender toutes les notes possibles produites par une corde:
On ne se préoccupe donc pas ici de savoir si la corde est frettée ou non, mais seulement de la description de son comportement à partir du chevalet (portion de gauche sur le schéma), et pour un note pure. En conséquence, ne vous étonnez pas que l'extrémité de droite ne soit pas entièrement représentée, mais seulement suggérée, car alors seuls comptent:
|
Alors, si f0 est la fréquence de la note à vide, E l'élongation maximale de la note pure considérée, et f sa fréquence:
y = E sin(2π xf/Lf0) (la longueur d'onde étant alors l = 2Lf0/f)
En fonction du temps t, l'élongation E(t)est elle-même une fonction sinusoïdale:
E = a sin(2π ft + φ)
Au total, on a, avec l'amplitude a et la phase φ de la note (voir la page concernant la corde théorique):
|
y = a sin(2π ft + φ) sin(2π xf/Lf0) |
On en déduit la vitesse v à l'abscisse x:
|
v = 2π fa cos(2π ft +φ) sin(2π xf/Lf0) |
Pour simplifier le problème, on peut alors supposer que la sensibilité k du micro, est constante dans toute sa fenêtre de lecture, de longueur utile de corde captée égale à 2X.
Alors, d'après la définition du coefficient d'influence de la corde, un élément de corde de longueur dx, engendre une f.e.m. de, telle que:
de = kvdx (avec d, symbole de la différentiation mathématique)
Remarque: k
mesure la faculté d'un élément de corde de longueur dx
à engendrer une f.e.m dans le bobinage.
Cette faculté est
nommée ici par convention "influence", mais aurais pu être
baptisée "sensibilité".
d'où, pour un micro centré à distance moyenne d du chevalet:
e = ∫ kvdx (somme de x=d-X à x=d+X) (avec ∫ , symbole d'intégration mathématique)
soit :
e = 2πkfa cos(2π ft + φ)∫ sin(2π fx/Lf0)dx (somme de x=d-X à x=d+X)
ou, après intégration le long de la fenêtre:
e = -kaLf0 cos(2π ft + φ){cos[2π f(d+X)/Lf0] - cos[2π f(d-X)/Lf0]}
|
Soit, enfin, tous calculs faits, l'équation fondamentale du micro:
Au total, la force électromotrice engendrée par le micro est proportionnelle:
|
On peut remarquer que l'équation fondamentale peut également être écrite, décomposée en deux termes multiplicatifs distinct:
e = 2ak0Lf0 cos(2πft + φ) sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0) =
{2ak0Lf0 cos(2πft + φ)}{sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0)} =
|
e = emusicale x A où emusicale = 2ak0Lf0 cos(2πft + φ):
et A(f)= sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0) A(f) est donc un coefficient d'affaiblissement du signal musical
Ce coefficent A(f) sera dénommé coefficient de pondération caractéristique du micro. |
La valeur sin(2πfd/Lf0) indique un affaiblissement marqué, voire une annulation totale du signal capté, aux voisinages de: 2πfd/Lf0 = nπ,
Soit, des fréquences de réjection: f = n Lf0/2d (où n est un entier arbitraire positif)
|
1 - Au voisinage de f = Lf0 n/2d (pour tout n, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour un micro centré à la distance d du chevalet. |
Le même raisonnement, appliqué à sin(2πfX/Lf0), donne la règle:
|
2 - Au voisinage de f = Lf0 n/2X (pour tout n, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour un micro ayant une longueur de fenêtre de lecture égale à 2X |
On remarquera que, les distances d et X étant plus courtes (par construction) que la longueur d'onde la plus courte parmi les notes frettées, les fréquences f concernées par la réjection sont plus hautes que fM, la fondamentale frettée la plus haute.
|
3 - Ces fréquences de réjection correspondent éventuellement:
|
Analogie vocale avec les "formants" des syllabes: notion de "chant" du micro.
Dans le cas de la voix, il existe une distinction entre les notions de:
Par analogie, on peut associer respectivement:
Dans cette optique, pour le micro, la "fonction de pondération caractéristique" joue de rôle de ce qui est nommé "formants" dans le cas de la voix humaine.
Et la sonorité du micro serait une sorte voyelle particulière, mais musicale, qui caractérise la largeur de sa fenêtre et sa distance du chevalet. Une sorte de "chant" particulier au micro.
Alors, d'après l'équation fondamentale du micro:
pour une intensité a donnée de la note génératrice, de fréquence f,
pour une valeur donnée k=k0 de l'influence moyenne de la corde,
pour une corde de masse linéique et de tension connues,
la pondération caractéristique A du micro placé à la distance moyenne d du chevalet, est, par définition:
A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf)sin(2πfX/Lf0)
Les exemples ont été transcrits plus loin ce chapitre étant déjà assez lourd.
Plus généralement, une note complexe génératrice, de fréquence fondamentale f, supposée infiniment stable dans le temps, est accompagnée de ses harmoniques de fréquences nf (n entier positif) affectés de la phase φn, la fondamentale étant désignée par "l'harmonique de rang 1".
Si la fondamentale est du type: a1 cos(2πft + φ1), la note complexe s'écrit alors sous la forme:
∑ ancos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞)
En raison de la linéarité des lois de l'électromagnétisme, l'équation fondamentale du micro indique alors que la f.e.m. induite s'écrit:
e = 2k0Lf0 ∑ anA(nf)cos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞)
La note complexe captée est donc affectée:
d'un coefficient d'amplification global égal à 2k0Lf0 , identique à celui d'une note pure,
d'une altération de l'intensité de chaque harmonique, qui passe de an à anA(nf), où A(nf) est le coefficient de pondération caractéristique de l'harmonique de rang n (ce qui justifie le terme de "pondération"),
d'une phase de chaque harmonique φn, inchangée.
NB: on remarque que si la série correspondant à la note génératrice converge, il en est de même de celle qui correspond à la note captée.
4 - Le "timbre" d'un micro:
|
Mais on peut déjà constater que le phénomène ici décrit, est caractéristique d'un "timbre" sonore, applicable à tous les sons engendrés par les vibrations de la corde, et non celle d'un simple filtre, comme le constitue l'impédance électrique du même micro. En particulier, pour peu que la fenêtre ne change pas d'une corde à l'autre, ce timbre reste identique pour les six cordes de la guitare, ainsi que pour toutes les notes et harmoniques. ll affecte également l'ensemble des transitoires de chaque notes, ainsi que les bruits éventuellement captés. Il est donc clairement établi ici que la sonorité ou "timbre" propre à un micro ne dépend uniquement que de deux paramètres topologiques:
NB: les esprits chagrins, nostalgiques de leur savoir dépassé, rétorqueront que le son d'un micro n'est que la conséquence de son impédance interne. Que nenni, Messeigneurs! La fenêtre d'un micro "dessine" sa sonorité, que les impédances "colorent", indépendamment de sa position. |
5 - Largeur pratique de la fenêtre de lecture:
Du point de vue pratique, on peut déjà se référer aux schémas des lignes de champ déjà publiés sur ce site:
On peut s'attendre à:
D'où, peut-être, la sensation d'ouverture sonore accrue en passant des premiers aux derniers micros ?
Dans tous les cas, se pose me problème de la détermination pratique de la fenêtre de lecture réelle.
1 - Le cas des "humbuckings" est parfaitement déterminé par la forme des lignes de champ limitées dans l'espace.
Le cas du "single coil" pose un problème: celui de la dimension de sa fenêtre de lecture, qui semble être infinie, si on se réfère au seul micro.
On peut cependant remarquer qu'elle se limite forcément:
Et deux single coils peuvent être magnétiquement couplés. En ce cas, ils se comportent magnétiquement comme un seul single coil étendu.
2 - Dans le cas le plus fréquent du "truss rod" existant en matériau ferromagnétique, on peut donc dire que, pour un "single coil" seul, ou plusieurs couplés, elle s'étend du chevalet au "truss rod".
3 - En revanche, pour deux "single coils" magnétiquement découplés, la fenêtre de lecture de chacun est amputée de l'espace qui les sépare.
....A suivre.
En particulier, il sera intéressant de comparer le résultats pour un micro en positions dites "de Curbillon", "de Vendramini" et intermédiaires.
Le moindre sera que tout ce qui a été écrit jusqu'à présent, et qui ignore les deux paramètres caractéristiques (pour mon oreille et confirmés ici par raisonnement) , n'est qu'une collection d'incantations stériles.
Le vulgaire est la vague notion de fenêtre, associée par les pseudo-intellectuels de la gratte à une idée de volume sonore plus ou moins important: "ma" fenêtre agit sur la sonorité, en plus du volume.
Mais le pire est la réaction du lecteur, candide, mais pugnace:
|
Je cite le dialogue épique, dans toute sa crudité édifiante: "Hé, Monsieur le beau
parleur, Monsieur le prétentieux, vous prétendez qu'un
"humbucker" sonne comme un "single coil", que
la nature des aimants, des pièces polaires, du fil, des bobines
etc., n'a aucun rôle dans la sonorité d'un micro? "Que nenni, Monsieur le
lecteur adoré, mais légitiment rétif! "Et je dis également que la conclusion en sera identique, les différences de construction du circuit magnétique (aimants et pièces polaire), ainsi que les variantes dans les bobines, entrant dans la notion de rendement mesuré point par point". Fin de citation Quant à l'impédance électrique, son rôle sera confondu avec celui de l'électronique embarquée, rôle donc "de coloration secondaire". Enfin, seuls les différents "bruits" non provenant des cordes, tels ceux qui proviendraient des mouvements de spires plus ou moins jointives, de mouvements ou de chocs sur le micro, ne sont pas concernés par cet étude, mais plutôt par celle de l'impédances interne du micro. |
Chronologiquement, la notion de coefficient linéique ponctuel d'influence d'une corde a été introduite empiriquement, à la page de définition de la fenêtre de lecture, afin de préciser la définition ladite fenêtre.
Puis, l'existence physique de ce coefficient a été justifiée, en considération de la notion générale de réluctance.
Enfin, une hypothèse a été faite sur sa valeur, et les moyens de le mesurer.
Compte tenu des réflexions précédentes, je propose d'identifier le coefficient ponctuel (ou linéique) k d'une corde à:
|
(µ/µ0)FBy(x) = de/vdx= k(x) |
où
x désigne le point courant considéré de la corde, et dx l'élément de corde correspondant,
By(x) désigne la composante de B (induction engendrée par le micro) au même point, suivant l'axe y des pôles,
v est la vitesse de corde au même point,
de est la f.e.m. élémentaire, induite par l'élément dx
F est un coefficient "topologique" sans dimension, ne dépendant que de la forme de la section de corde au point x
Dans ces conditions, pour une corde homogène (donc, à µ et F constants), la valeur de k(x) se confond avec celle de By(x), à un facteur constant multiplicatif k près, ne dépendant que de la forme de la section, soit:
|
k(x) = kBy(x) |
avec
|
k = constante = (µ/µ0)F |
En ce cas, on peut dire que la mesure de k(x) se résumerait à celle de By(x) , à un facteur multiplicatif d'amplification près.
Alors, pour peu que l'amplitude de vibration de la corde soit connu, on obtiendrait une valeur indirecte de la mesure de k(x), voire de By(x), en se référant à celle de la f.e.m. totale, et à l'équation fondamentale du micro.
En principe, ici se terminerait la théorie complète du micro, qui reste à confirmer par les mesures du coefficient de pondération A(f), en fonction de la fréquence.
Cependant, on peut utilement explorer quelques exemples et explorer différents hypothèses alternatives.
Etude
(en cours de révisions
)
de 4 positions remarquables
(Merci au site de Patrice Rabiller pour son efficace traceur de courbes)
Trois positions de micro fort usitées méritent une étude, ainsi qu'une position rarement utilisée.
1 - La position la plus proche possible de la touche, ou pré-Curbillon, qui ne peut exister que si la touche est suffisamment courte, position assez rare.
2 - La position, dite "de
Curbillon", micro axé
au niveau de l'harmonique 4 (double octave) de la fondamentale,
position réputée pour donner le meilleur équilibre sonore en
Jazz.
C'est la position généralement choisie par les luthiers
et constructeurs, pour la configuration dite "neck",
"aigus" (sic!), "rythm (re-sic!), ou "Jazz".
3 La position intermédiaire, souvent intitulée positon du "micro du milieu", qui donne, comme son nom l'indique une sonorité "intermédiaire", que nous allons tenter de définir.
4 - La position, dite "de
Vendramini", micro
proche du chevalet, qui offre un son agressif, particulièrement
prisé par les "rockers".
Elle est habituellement
désignée par configuration "bridge" ou "solo"
(re-re-sic!).
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Pour raison de simplicité, ces quatre cas seront restreints à une corde de Mi aigu, avec un diapason assez usuel de 64 cm, pour un même micro de largeur de fenêtre supposée égale à 4 cm. En fonction des paramètres définis à la page "fenêtre de lecture d'un micro", la pondération caractéristique A(f), du micro situé à la distance moyenne du chevalet, vaut: A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) Mais, ici toujours avec: f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 4/2 = 2 cm et f2 = Lf0/2X = 5274 Hz |
Si la touche et suffisamment courte, le micro peut effectivement être placé à une distance d du chevalet, supérieures à L/4, ce qui n'est pas toujours réalisable.
On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais de plus d>L/4=16 cm , soit:
f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = L/4 = 16 cm , f2 5274 Hz et f1 < 659,26 Hz
En fonction de la construction de la touche, il reste généralement peu de place pour un tel micro.
Nous supposerons donc d > 16 cm, mais peu différent de 16 cm.
Par exemple d = 18 cm. En ce cas, f1 = Lf0/2d = 586 Hz et,
A = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin(πf/f1)sin(πf/f2) = sin(5,3611 10-3 f)sin(5,95675 10-4 f)
Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:
en vert, la courbe de sin(πf/f2), associée à la fenêtre de lecture du micro de longueur 2X
en rouge, celle de sin(πf/f1), associée à la distance d entre micro et chevalet
en noir, la variation A de tension de sortie
Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f
Grossièrement dit, la variation de tension de sortie est sinusoïdale, de fréquence f1 = Lf0/2d, modulée par une sinusoïde de fréquence f2 = Lf0/2X.
Par rapport à la courbe suivante (position de Curbillon), on voit que le spectre est relativement régulier, mais légèrement plus faible en intensités maximales.
On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais de plus d=L/4=16 cm , soit:
f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = L/4 = 16 cm , f2 = 5274 Hz et f1 = 659,26 Hz
et
e/emusical = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin(πf/f1)sin(πf/f2) = sin(4,765 10-3 f)sin(5,95675 10-4 f)
Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:
Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f
On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais en plus on suppose arbitrairement d=L/8=8 cm , soit:
f1 = Lf0/2d = 4f0 = 1318.52 Hz
e/emusicale = sin(2,3125 10-3f)sin(5,95675 10-4 f)
Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:
Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f
La distribution des fréquences est ici fortement irrégulière, entraînant une sensation auditive de déséquilibre, par rapport à position de Curbillon, qui serait alors la position la plus "équilibrée".
Supposons que la distance d (entre axe du micro et chevalet) diminue, vers une position dite "bridge". Alors il existe une position privilégié (d = X), où cette distance égale la demi largeur de fenêtre.
Dans cette position, f1 = f2
Alors la tension de sortie est proportionnelle à:
e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin2(2πfd/Lf0) = sin2(2πfX/Lf0)
Dans le cas étudié ici, on a:
f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = 2 cm, et f11 = f2 = 329.63 x 64/2 = 10548 Hz
et
e/emusicale = sin(5,9675 10-4 f)2
Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:
en vert, la courbe de sin(πf/f2), associée à la fenêtre de lecture du micro de longueur 2X
confondue, celle de sin(πf/f1), associée à la distance d entre micro et chevalet
en noir, la variation de tension de sortie
Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f
La f.e.m. se retrouve redressée, avec un effet maximal de distorsion.
De plus, si la distance d diminue encore, la fenêtre déborde au-delà du chevalet, où le micro n'est plus sensible qu'aux bruits transmis par les cordes.
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Il semble donc, que, comme l'avait subodoré le luthier Vendramini, il existe une limite au à un rapprochement du micro vers le chevalet, au-delà de laquelle, le micro cesse de fonctionner utilement. Cette limite, que je nomme limite de Vendramimi, semble coïncider avec le bord de la fenêtre magnétique du micro, qui ne devrait jamais dépasser le chevalet. Enfin cette limite, évaluée au départ à 2 ou 3 centimètres, varierait, en fait, en fonction de la largeur de la fenêtre, c'est-à-dire du circuit magnétique utilisé pour construire le micro. |
Comme vous l'avez constaté, les exemples n'ont concerné qu'une variation de la distance d comptée à partir du chevalet, en laissant la fenêtre du micro constante.
Cela revient à déplacer le même micro.
Mais quel serait l'effet de l'élargissement de la fenêtre, par exemple par un changement du circuit magnétique, pour un micro fixé à un emplacement donné?
L'effet sur les courbes serait une dilatation de la courbe en vert, la courbe en rouge restant intact.
Auditivement, conformément à l'expérience, le son du micro s'en trouverait simplement "plus doux", "plus plein", si ces termes ont réellement un sens.
C'est ce qu'on constate, par exemple en
passant d'un "single coil" à un double bobinage, d'un P90
à un Charlie Christian, etc.
Mais il faudrait également tenir
compte des changements d'impédances, qui interfèrent avec la
sonorité propre à la fenêtre.
On se retrouverait alors avec beaucoup trop de cas d'espèces qu'il faudrait traiter individuellement.
Dans la pratique, si un micro développe sa propre force électromotrice (ou f.e.m.), celle-ci agit sur un circuit interne, composé de:
la résistance interne R des bobines
en série avec la self induction L des bobines sises dans leur entrefer
en série avec une capacité de fuite C, souvent oubliée, car invisible.
Le schéma équivalent au micro seul est alors:
A
gauche la tension d'entrée Ve (la fameuse f.e.m.). A droite, la
tension de sortie Vs
Le micro est donc soumis à un filtre interne, dit filtre série RLC, du second ordre, et sa tension de sortie Vs est liée à la la tension d'entrée Ve (ou f.e.m.), suivant une courbe du genre (on éludera ici la démonstration, classique chez les électriciens - voir le pdf correspondant -, mais rébarbative pour un guitariste candide):
Courbe typique de variation de Vs/Ve en
dB, en fonction de la fréquence,
analogue à celle de l'inverse
de l'impédance (ou admittance) du micro.
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Plus précisément, le rapport Vs/Ve, qui indique la valeur relative de la tension de sortie du micro:
Enfin, à la vue des pentes abruptes de la courbe, il est facile d'imaginer l'importance sur la sonorité générale du micro:
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On pourrait démontrer que la valeur de la fréquence de résonance f0 est telle que:
1/f0 = 2π(LC)1/2
La fréquence de résonance f0 diminue donc comme √LC
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La valeur de la résistance
interne R, quant à elle, agit sur la valeur du pic de résonance
et sur l'étalement de la courbe autour du pic.
Et comme R correspond à une perte d'énergie par échauffement, il est logique de dire que: la résistance interne R agit comme un "amortissement" de la résonance. |
Mais, pour aller plus loin, ce circuit de filtre interne au micro, est lui-même suivi d'un second filtre externe également dit "du second ordre", composé du câble de liaison et de sa capacité de fuite, raccordé sur l'impédance d'entée du préampli, suivant le schéma équivalent:
III - Autres circuits embarqués:
Nous avons oublié, pour simplification, les circuits annexes embarqués, souvent commandés par des potentiomètres, contacteurs, et "switches" divers, qui s'interposent couramment entre micro et jack de sortie.
On voit immédiatement que la capacité de fuite interne du micro est associée, au minimum, à une seconde capacité de fuite externe, qui joue donc également sur la fréquence de coupure et le "pic" de l'ensemble.
Les autres circuits embarqués ont donc une influence. Mais la multiplicité des cas possibles fait repousser leur analyse à une éventuelle future page.
On peut cependant citer des phénomènes avérés, mais peu ou mal connus:
Un "pic" élevé est favorisé par l'ouverture totale des potentiomètres, voire leur neutralisation complète.
Il est également favorisé par un câblage en monofil (non blindé), à condition qu'il soit parfaitement réalisé.
Enfin, on peut ajouter que toute complication de ces circuits se traduit immanquablement par une augmentation des capacités de fuite, donc par une diminution du fameux "pic".
Ces principes ont été souvent adoptés par les frères Jacobacci, dans leurs oeuvres les plus raffinées.
D'où la notion qui m'est chère de "guitare d'homme", plaisanterie destinée à promouvoir la guitare de jazz munie d'un seul micro, jouée avec ses deux potentiomètres ouvert à fond.
La fréquence de résonance de la plupart des micros usuels combinés avec des câbles le liaison courants, tourne entre 2000 et 5000 Hz. C'est la plage où l'oreille humaine à la meilleure sensibilité. Une succincte corrélation subjective entre fréquences de résonance et sonorités indique que:
à 2000 Hz, le son est "chaud" et "moelleux"
à 3000 Hz, "brillant" ou "présent"
à 4000 Hz, "perçant"
à 5000 Hz, "strident" mais "peu charpenté"
Bien entendu, le son
dépend également de la hauteur du pic de résonance. Un pic élevé
produit un son puissant et fortement personnalisé; un pic atténué,
un son affaibli, particulièrement avec des "solide bodies"
qui n'ont aucune caisse de résonance.
La hauteur du pic da la
plupart des micros varie de 1 à 4.
Il dépend des matériaux
magnétiques, du bobinage et des capots métalliques des micros
(souvent ôtés, pour un obtention d'un "pic" plus élevé,
mais ... plus de parasites, en contrepartie).
Toujours en oubliant l'influence des autres circuits embarqués (par commodité simplificatrice), la fréquence de résonance dépend à la fois de l'inductance L du micro (généralement compris entre 1 et 10 Henrys) et de la capacité de fuite totale C. C est la somme de la capacité de fuite du bobinage (environs 80-200 pF) et de celle du câble de liaison (environs 300-1000 pF).
Il est donc clair que le câble de liaison soit être choisi avec discernement.
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Pour résumer, on peut dire que:
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L'habitude des fainéants est d'expliquer la sonorité d'un micro, uniquement par la notion, plus ou moins bien digérée, de circuit résonant.
C'est oublier le rôle primordial de la "fenêtre de lecture", véritable moteur du micro, dont les circuits résonants ne sont que les freins sélectifs.
Cependant, il est utile en pratique d'étudier l'influence de l'association de plusieurs circuits résonants sur la sonorité finale, tant dans les montages "série" qu'en "dérivation", sans oublier le rôle des couplages magnétiques, trop souvent négligé dans les études superficielles.
Ces considérations sortent néanmoins du cadre de cette étude et sont raités à part, sur une page Web dédiée:
http://www.jpbourgeois.org/guitar/association.htm
Enfin, ne vous fiez en aucun cas aux schémas et valeurs fournis par les constructeurs de micro. Sauf exception, ce ne sont que des souhaits de leurs directeur de la communication (directeur de la pub, en lange courant). Malheureusement (ou heureusement?), le client ordinaire n'a que ses oreilles pour juger.
NB: en raison de l'absence de symbole correspondant sur mon éditeur, un vecteur est désigné par une barre supérieure. Ainsi, le vecteur induction magnétique B est désigné par B.
I - Première proposition, purement intuitive, mais ... très risquée:
En première approximation, le champ magnétique moteur engendré en un point par les aimants ne dépendrait que de la distance d qui sépare ce point du chevalet.
Pour contourner la difficulté de description de l'action de la corde sur le flux prévu par les lois de Faraday et Lentz, je propose de considérer 'un élément de corde dl animé de la vitesse v pourrait créer une f.e.m. élémentaire de, telle que:
de =| v^(dl ^ B(d))| (où ^ = produit vectoriel)
Cette proposition logique donne , de plus, une formule homogène du point de vue des unités.
Il resterait à modéliser une répartition vraisemblable de B(d) et à vérifier la cohérence du résultat théorique obtenu avec ce qui est réellement perçu par l'oreille.
Malheureusement, les hypothèses restent trop risquées, voire simplettes.
II - Deuxième proposition, plus fondée.
II 1 - Hypothèses "naturelles"
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Le mouvement le
plus général d'une corde vibrante peut se faire dans n'importe
quel plan contenant la corde au repos. Mais comme un tel
mouvement peut être décrit par la recomposition de deux
mouvements plans distincts, il est légitime de ne considérer
que deux plans de référence distincts dans notre approche. |
Sans restriction sur les résultats finaux, nous pouvons en conséquence supposer d'abord que tout se passe dans un seul plan, le plan de la corde au repos et perpendiculaire à la table de la guitare et dit "plan axial". Dans ces conditions, les hypothèses sont les suivantes
1 En un point, pour de petits déplacements autour de sa position d'équilibre, et en première approximation, la corde baigne dans un champ magnétique moteur B(d) ne dépendant que de la distance d avec le chevalet.
2 Le mouvement de la corde est supposé limité au même plan, et la vitesse v de déplacement d'un point de corde est perpendiculaire à la corde.
3 On peut supposer que l'aimantation en ce point de la corde (composée d'un matériau ferromagnétique supposé homogène et isotrope) ne se produit que transversalement (en raison de la forme cylindrique de la corde), et qu'elle s'annule si le champ devient parallèle à l'axe de la corde.
4 Un élément de corde dl est constitué d'une "tranche" orientée, d'épaisseur dl, de diamètre D, tranche susceptible de porter des charges magnétiques (fictives) situées quasi ponctuellement et diamétralement opposées.
II 2 - Hypothèses "osées"
1 L'aimantation I induite est proportionnelle à la composante tangentielle Bt du champ, par rapport au plan de la tranche.
2 Elle correspond à des masses magnétiques m et -m, réparties aux extrémités d'une section (en rouge sur le schéma) d'épaisseur e et alignée sur I.
II 3 - Développement du raisonnement
On est ramené au cas simple d'un aimant rectiligne, long et relativement plat, dont l'épaisseur e est souhaitée s'éliminer da la suite des calculs (à vérifier).
Cette "section" (en rouge) de "tranche" de corde élémentaire peut être assimilée à un dipôle magnétique qui produirait un champ magnétique perturbateur variable élémentaire, dont l'intégration le long de la corde représente le champ dont la variation du flux va induire la f.e.m. induite dans les bobinages du micro.
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L'aimantation I du dipôle dépend de B(d) , et de la susceptibilité magnétique du matériau utilisé. Et le champ perturbateur élémentaire est facile à évaluer en fonction de v, en considérant qu'il agit à grande distance, par rapport au diamètre D de la corde, et par rapport aux faibles déplacements supposés de la corde.
Dans cette
évaluation, les pièces polaires ou aimants permanents traversant le
bobinage sont ignorés.
Mais leur rôle effectif sur le champ
perturbateur, est la concentration des lignes de champ, sans action
sur le flux du même champ qui est conservatif (div B
= 0).
Restera à réaliser l'intégration en fonction de d, et à l'interpréter.
III Troisième hypothèse, plus pratique, et fondée sur l'analyse dimensionnelle.
Devant la difficulté d'expliciter les modélisations évoquées ci-dessus, j'ai songé à utiliser une méthode éprouvée dans différents domaines scientifiques tels que la mécanique des fluides, ou un coefficient, difficile à évaluer théoriquement, est inspiré par la seule analyse dimensionnelle, et confirmé par ses utilisations pratiques.
Sachant que la vitesse de variation élémentaire du flux d'induction dΦ créé par un élément dx de la corde et parcourant le système des bobines actives d'un micro doit, selon toute vraisemblance, être proportionnel:
au flux d'induction B(x) qui aimante l'élément de corde ,
à la perméabilité magnétique µ de la corde (supposée constante)
à la vitesse scalaire v(x) de la corde,
enfin, hypothèse
beaucoup plus osée,
à un coefficient g(x),
purement
géométrique et sans dimension,
ne liant que:
- la surface active des bobines (celle qui
traversée par la flux)
- et le point x
Alors, si µ0 est la perméabilité du vide, la loi de Lenz, impose alors que la f.e.m. de , engendrée dans le circuit du micro par l'élément de corde dx, soit de la forme:
de = -(dΦ/dt)dx = -g(x)(µ/µ0)B(x)v(x).dx
de = -h(x)v(x)dx (±, en fonction des conventions utilisées)
où h(x) = g(x)(µ/µ0)B(x)
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D'après la loi de Lenz, on voit immédiatement que:
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IV Quatrième proposition, fondée sur la fertile notion de réluctance:
En raison des difficultés de solution mathématique des autres propositions, la bonne idée est venue de la notion de réluctance, qui permet:
de lier chaque point d'un circuit magnétique,
donc, de lier élégamment aimants et corde vibrante,
de donner son sens à la notion, au départ purement intuitive, de coefficient d'influence ponctuel d'une corde sur un micro
Dans l'étude menée, on suppose acquis que la force électromotrice e produite dans un micro par un élément de corde dx est telle que:
de = -k(x)v(x)dx
où
k(x) est un coefficient (de dimension weber/mètre carré, soit celle d'une induction) que je baptise: "coefficient linéique d'influence ponctuel" de la corde sur le micro au point considéré, ou simplement "coefficient d'influence" de la corde.
Le challenge est de caractériser les différences de sonorités obtenues, par exemple, dans des cas bien différenciés, tels que:
, mais également d'étendre une telle étude au cas exceptionnel du micro "Charlie Christian" où l'action du champ magnétique s'étend pratiquement à l'ensemble de la corde entre touche et chevalet.
De plus, il faudra aborder, au travers de cette optique, l'évolution sonore liée au déplacement d'un micro.
Etude
du LAM... entable!
A
ma connaissance, seuls des étudiants du LAM (fac de Paris Jussieu)
ont tenté de modéliser l'action des cordes sur les micros, au
cours d'un stage.
L'étude a omis de citer les sources des
schémas, souvent pillés sur mon site, comme j'en ai fait la
remarque au très compétent Charles Besançon, qui encadrait le
stage.
Leur modélisation s'est faite à grand' peine, avec
appel au lourd logiciel "Math Lab", et pour des résultats
bien faibles, voire inutilisables.
Il me semble que l'erreur
de base a été de considérer la corde comme un simple dipôle
magnétique, alors que la réalité aurait réclamé la modélisation
d'une distribution continue de dipôles élémentaires, tâche
malheureusement titanesque sans les simplifications imposées
ici.
C'est oublier un peu vite que la corde
agit au travers d'une portion non négligeable de sa longueur,
et non pas ponctuellement.
Enfin cette étude a eu le malheur
de mettre en relief, de façon exagérée, l'impédance des circuits
électriques des micros, en s'appuyant, de plus, sur ... une
conception erronée des paramètres réellement influents de ladite
impédance.
Les manceaux du LUAM
On peut également citer la déplorable contribution de "Professeurs des Universités (sic)" du Mans au n° 3 de la revue "Musique et Technique", qui, s'ils ont songé à faire appel à la notion pertinente de réluctance, ont oublié de lier réluctance
variable et
vitesse de la
corde. De
simples et modestes agrégatifs auraient rectifié le tir (voir
capteurs.pdf).
En confondant
capteur de
vitesse avec
capteur de
déplacement,
leur théorie n'est pas celle du micro électromagnétique, mais
celle d'un micro destiné aux rêveurs.
On évidera de citer des noms, en supposant charitablement une "coquille" de la revue "Musique et Technique".
Théorie
consistante.
Pour
ma part, je préfère privilégier les études basées sur mon
expérience d'écoute, par rapport aux études uniquement théoriques
menée par des non-musiciens, inapplicables à la réalité sonore,
qui s'avère ... bien têtue.
Dans ce cadre, la théorie du
micro électromagnétique, présentée aux chapitres reluctance
et fenêtre de lecture, est consistante avec
les lois fondamentales de l'électromagnétisme et la fréquentation
de centaines d'instruments en plus de cinquante ans.
Vous:
Oui,
mais est-elle "vraie", Monsieur le prétentieux?
Moi:
Je
le suppose, lecteur candide, dans la mesure où le terme "vraie"
aurait un sens.
Pour l'instant elle n'est que "consistante",
ou "non contradictoire", c'est-à-dire "possible"
ou "envisageable" (en
langage usuel).
Comme dit l'autre, je resterai génial (sic),
mais modeste (re-sic): reste
à vérifier, au travers des expériences
quantitatives à venir,
... si je ne me mets pas le doigt dans l'oeil.
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1 - Point d'ébranlement, noeud de vibration, et disparition d'harmoniques: Etant donnée l'influence de la largeur 2X de la fenêtre de lecture du micro, ainsi que de la distance d chevalet-micro sur la sonorité générale obtenue, on peut également tenter d'étudier l'influence du point d'ébranlement de la corde (au doigt, médiator, e-bow ou autre médium), dont on s'attend qu'elle ait une forte analogie et intrication avec l'influence de la distance d. L'approche classique consiste à considérer que le point d'ébranlement est un point à partir duquel la corde est:
C'est évidemment une simplification, mas fort utile au départ. Dans ce cas, comme indiqué dans l'étude sommaire de la corde vibrante théorique, on peut démontrer que certains harmoniques restent absents, pour assurer la condition de vitesse nulle imposée au temps t=0.
Exemple: vibrations d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au 1/3 de sa longueur (rappel de la page sur la corde vibrante théorique): (after
Dr. Dan Russell, Kettering
University):
En effet, dans le cas d'une note de fréquence fondamentale f , l'amplitude y peut s'écrire:
et la vitesse v de la corde au point x est (voir window.htm):
où x est la distance du point courant avec le chevalet L est la longueur de corde à vide f0 est la fréquence fondamentale correspondant à la corde à vide Les noeuds de vibration des éventuels harmoniques sont tels de v=0 quel que soit le temps t. Ils se produisent donc à une distance p du chevalet (point d'ébranlement p,indépendant du temps) telle que sin(2π pf/Lf0) = 0, soit 2πpf/Lf0 = nπ, et finalement: p = nLf0/2f , où n est un entier positif quelconque On voit qu'alors le déplacement y(p) correspondant est identiquement nul. NB: le cas n=0 est envisageable en théorie, le chevalet étant LE seul noeud obligé de toutes les vibrations 2 - Démonstration et conclusion:
Conclusion:
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En introduisant la variable auxiliaire d-p, on peut écrire d= (d-p) + p et alors: sin(2πfd/Lf0) = sin[2πf(d-p)/Lf0]cos(2πfp/Lf0) + cos[2πf(d-p)/Lf0]sin(2πfp/Lf0) Mais par définition de p, on a toujours sin(2πfp/Lf0) = sin(2nπ) =0 et cos(2πfp/Lf0) = cos(2nπ) = 1, soit: sin(2πfp/Lf0) = sin[2πf(d-p)/Lf0] Revenons à l'équation fondamentale du micro. Dans les conditions précédentes, le coefficient de pondération caractéristique du micro devient alors:
Mais que se passerait-il si le coup de médiator (ou autre médium) était donné "pile" au-dessus du centre du micro? Et bien, tout simplement (d-p) = 0 et : A(f) = 0 !!! La force électromotrice créée par le micro serait donc annulée? Heureusement, ni la corde, ni le micro ne sont parfaits. Et, entre autres, le centre théorique du micro est une notion bien floue dans la réalité. On ne peut donc seulement dire, qu'en raison de la continuité des phénomènes physiques considérés: le son est minimisé, si l'attaque de la corde est faite au voisinage du centre du micro.
On prendra seulement garde que, si d est par définition positif, (d-p) peut éventuellement devenir négatif. En ce cas, un raisonnement trop hâtif pourrait amener à des interprétations erronées des transpositions induites par un "principe de dualité" mal appliquée. |
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y = E sin(2π xf/Lf0) (la longueur d'onde étant alors l = 2Lf0/f) En fonction du temps t, l'élongation E(t)est elle-même une fonction sinusoïdale: E = a sin(2π ft + φ) Au total, on a, avec l'amplitude a et la phase φ de la note (voir la page concernant la corde théorique):
On en déduit la vitesse v à l'abscisse x:
Dans le cas particulier d'une corde vibrante, chaque élément de corde dx intercepte sa contribution dΦ0(x) au flux total, et engendre la f.e.m. de, telle que: de = (v/ß) dΦ0(x) et e = ∫ (v/ß) dΦ0 (somme de x=d-X à x=d+X) , avec ∫ , symbole d'intégration mathématique
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Le fait bien connu que la sensibilité du micro augmente avec le rapprochement des cordes est donc théoriquement confirmé, comme on doit l'attendre de toute théorie réaliste. Elle pourrait même tendre vers l'infini, si la distance ß tend vers 0, mais évidemment, les cordes seraient alors immobilisés par le micro, sur lequel elles se trouveraient alors collées. En pratique, il faut éviter que les cordes puissent toucher le micro.
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Vous: "Mais, Monsieur le cuistre, "tout le monde" sait que les cordes trop basses sont freinées par les aimants, et que le sacro-saint sustain en pâti". Moi: oui. "Tout le monde", le dit. Et même, tout récemment, un conférencier (dont je tairai charitablement le nom) l'a malencontreusement affirmé lors d'une réunion au Musée des musiques populaires de Montluçon. "Tout le monde" le dit, mais personne ne l'a réellement vérifié expérimentalement En effet, d'où viendrait la perte de sustain? Mécaniquement parlant, il faudrait une perte d'énergie mécanique, genre "frottement" (proportionnel à une vitesse de déplacement) et dissipateur de chaleur. Comme les lois de l'électromagnétisme sont parfaitement réversibles, elles ne donnent lieu à aucun phénomène de type "frottement". On ne peut chercher un tel phénomène non réversible que dans une dissipation thermique du genre:
Mais en raison de la forte impédance des circuits électriques utilisés, par rapport à la faible f.e.m. induite, les courants produits (donc les pertes par effet joule) sont négligeables. Il en est de même des éventuelles pertes par hystérésis crées par des variations d'induction magnétique insignifiantes. Enfin, the last but not the least, j'aurais plutôt tendance à percevoir une augmentation du sustain subjectif avec le rapprochement des cordes du micro. A la fois pour des raisons d'expériences subjectives et d'arguments théoriques, tant qu'une série de mesures bien conduite ne m'aura pas persuadé du contraire, je crois fermement que:
Aux yeux de la populace scribouillarde et moutonnière, je suis coupable de blasphème et menacé de lapidation sur la plage du Pays des Lanternes de Panurge. Que les physiciens expérimentateurs me jettent la première pierre, ... s'il y arrivent. |
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Limitée à son lieu naturel de naissance (la corde), une note complexe génératrice, de fréquence fondamentale f, supposée infiniment stable dans le temps, est accompagnée de ses harmoniques de fréquences nf (n entier positif) affectés de la phase φn, la fondamentale étant désignée par "l'harmonique de rang 1". Si la fondamentale est du type: a1 cos(2πft + φ1), la note complexe s'écrit alors sous la forme: ∑ ancos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞) En raison de la linéarité des lois de l'électromagnétisme, l'équation fondamentale du micro indique alors que la f.e.m. induite s'écrit: e = 2k0Lf0 ∑ anA(nf)cos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞) La note complexe captée est donc affectée:
NB: on remarque que si la série correspondant à la note génératrice converge, il en est de même de celle qui correspond à la note captée.
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Vue sous l'angle des asservissements, la fonction de pondération caractéristique A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) est (au coefficient constant 2k0Lf0 près) la fonction de transfert qui associe la vitesse instantanée de la corde à la f.e.m. produite par le micro. Vue sous l'angle de la théorie de l'information, A(f) introduit une nouvelle information à toute note complexe engendrée par la corde, non contenue dans ladite note, donc enrichissant l'information brute. J'émets l'hypothèse que cette information supplémentaire, caractéristique du micro, fait partie des éléments de l'organologie de la guitare électrique qui ont favorisé son succès.
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Ca vous grattouille ou ça vous chatouille?
Mais on prendra bien garde, dans le cadre de mesures précises à venir, que le micro ici formellement défini, tout comme la corde vibrante évoquée, ne sont que des éléments théoriques, des représentants approchés, de simples métaphores de leur cousins réels. Reste cependant un point d'ombre, celui de la définition précise de la largeur de fenêtre 2X. En effet, la variation réelle du coefficient
d'influence k(x)
ne passe pas de façon discontinue, de 0 à une valeur
appréciable. Grattons où ça nous chatouille. Enfin, la mise au point d'un protocole de mesures se heurte à une difficulté particulière: celle de la détermination précise d'une note pure engendrée par la corde. La méthode classiquement utilisée consiste à utiliser une note étalon, produite par une "machine à pincer", sensée reproduire une attaque de médiator reproductible à loisir et fournir un ébranlement de la corde, connu et stable dans le temps. Outre la difficulté de mettre au point une telle machine, reste l'indétermination des valeurs des vitesses de corde qu'elle engendre. J'ai donc songé à deux façons étalons de forcer le mouvement des cordes, de façon reproductible:
Dans les deux cas, il semble indispensable de fournir un mode de fonctionnement précis des "moteurs" choisis pour la corde. Restera à mesurer l'intensité de la note jouée par la corde, qui pourrait être quantifiée par un capteur optique à déterminer. |
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Mise
à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois,
Ingénieur-conseil © |
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