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						Le mystère des sons résultants
						

					

						
				
					

						
			

		

		

		
		

		
Théorie - Theory

		

			

				 
				
					
Helmholtz, le dieu aux pieds d'argile.

					
Le premier à mentionner le phénomène dès 1740 fut Sorge, organiste allemand, puis le violoniste italien Tartarini le fit connaître sous le nom de "sons de Tartarini".

					
Enfin  H. Helhmholtz (Théorie Physiologique de la Musique, 1868) en développa la description en regroupant les sons résultants différentiels (de Sorge et Tartarini) avec sa propre conception des sons résultants additifs.

					
D'après Helmoltz, deux notes distinctes de fréquence f1 et f2 (avec f1<f2), dits notes génératrices, émises simultanément, laisseraient entendre, en complément, deux sons résultants: l'un (dit différentiel), de fréquence (f2 -f1), l'autre (dit additif), moins perceptible, de fréquence (f1+f2).

					
Sans vergogne, en raison de l'autorité scientifique supposée de ce brave Herman von Helhmholtz, cet "ukase" est accepté par tous les baragouineurs en théorie de l'acoustique musicale.

					
Le LAM (Laboratoire d'Acoustique Musicale de Jussieu), questionné sur de point, m'a même gratifié d'un "silence radio" du plus bel effet.

					

						

							
								

									
Cependant, sans mettre en cause leur perception éventuelle, les sons résultants ne sont en nulle part justifiés par le cher professeur Helmholtz, ni théoriquement, ni expérimentalement,  handicapé qu'il était par l'absence de nos moyens de mesure actuels et par une manipulation des mathématiques mal assurée.

								

									
						

					

					
Où est le problème?

					
Dans le cas de deux notes de fréquences f1 et f2 relativement proches, le phénomène perçu est celui des "battements", dont la théorie est bien établie.

					
Mais dans le cas général, il serait temps de se préoccuper sérieusement de ces mystérieuses "notes résultantes", dont l'existence n'est attestée dans la littérature scientifique que sous la forme suivante, en vérité peu convaincante: "d'après H. Helmholtz, on sait que, bla bla bla..."

					
Plusieurs directions de recherche sont alors possibles, avec leur combinaison éventuelle:

					
1 Les notes résultantes supposées sont-elles déductibles de la notion de décomposition en série de Fourier, attachée à toute note de fréquence donnée?

							Elles auraient alors une existence physique, mesurable expérimentalement.

					
2 Les notes résultantes ne sont-elles que le résultat auditif engendré par notre cerveau, une sorte "de mirage" de la perception?

							Elles résisteraient à la mesure, bien qu'audibles par tous (ou par certains).

					
Un tel phénomène, bien connu, est la sensation auditive d'une note fondamentale, alors que seuls les partiels sont émis.
C'est le cas général des chaînes Hi-Fi qui font entendre des notes d'extrême grave que leurs haut parleurs sont bien incapables de restituer.

					
3 Comme suggéré, mais développé trop légèrement par notre vénérable savant, les sons (ou notes) résultant(e)s viendraient-ils d'un défaut de linéarité de l'acoustique, engendré par deux notes génératrices surpuissantes?

					
4 Enfin, conclusion qui serait bien gênante, les notes résultantes ne résulteraient ... que de nos lectures trop confiantes des auteurs réputés, voire de celles de "l'homme, qu'a vu l'homme, qu'a vu l'ours"?

					
Fienman, le visionnaire.

					
Heureusement, le légendaire Richard P. Feynman, prix Nobel de physique en 1965, et enseignant de haute volée, donne sa clé dans "Le cours de Physique de Feymam, mécanique 2", section "Harmoniques", paragraphe "les réponses non linéaires".

					
En acoustique linéaire, c'est à dire pour des niveaux acoustiques "usuels", deux notes quelconques restent indépendantes.

					
Mais, pour les hauts niveaux, deux notes peuvent interagir.

					
En utilisant le principe de la "boite noire" (entrée -> transfert -> sortie), il propose une boite noire particulière qui associe à une "entrée" x(t)entrée une fonction "sortie linéaire" (acoustique linéaire) kx(t)sortie, augmentée d'une petite perturbation du second degré (acoustique non linéaire), telles que:

					

							x(t)sortie = k[x(t)entrée + ε.x2(t)entrée]

						

					
où ε représente la petite perturbation inconnue de la "boite noire", munie du facteur d'amplification k (coefficient parfois pompeusement dénommé "fonction de transfert")

					
NB: Avec (Avec ε très petit) très petit par rapport à l'unité (1), cette approximation est légitimée par le principe (bien cerné en mathématique) des "développements limités des fonctions continues", l'erreur commise étant de l'ordre de ε2, pourvu que "entrée" et "transfert" soient effectivement des fonctions continues du temps.

					
Dans la suite, pour simplifier les écritures, on considère les pulsations ω, au lieu des fréquences f, sachant que ω = 2πf.

					
Et on peut interpréter ainsi l'idée de Feinmann:

					

						

							
								
Si l'entrée est composée de deux notes pures, d'amplitudes A et B et de pulsations respectives ω1 et ω2, on peut écrire:

								
x(t)entrée= A cos ω1t + B cos ω2t

								
 Soit

								
x(t)sortie = k[A cos ω1t + B cos ω2t + + (A2+B2)ε/2 (A cos ω1t + B cos ω2t)2]

								
ou

								
x(t)sortie = k[A cos ω1t + B cos ω2t + ε (A2 cos2 ω1t + B2 cos2 ω2t + 2 AB cos ω1t cos ω2t)]

								
En tenant compte de la relation générale 2 cos2 x = 1 - cos 2x, il vient:

								
x(t)sortie = k[Acos ω1t + B cos ω2t - A2(cos 2ω1t)ε/2 - B2(cos 2ω2t)ε/2+ (A2+B2)ε/2 + 2 ε AB cos ω1t cos ω2t

								

								
    
									
  • 
										
    Les termes kAcos ω1t et kBcos ω2t sont les sorties linéaires des notes d'entrée, au sens usuel de l'acoustique linéaire, pourvues du facteur commun d'amplification k, mais (comme attendu), indépendantes du facteur ε qui module tous les autres termes issus du défaut de linéarité,
    
									
    • 
									
  • 
										
    -kA2(cos 2ω1t)ε/2  et -kB2(cos 2ω1t)ε/2, sont les sorties totalement crées, des "harmoniques deux" des notes d'entrée, souvent désignées par le nom évocateur de "distorsions harmoniques d'ordre pair", simultanément ornées d'un déphasage de 180°.
    
									
    • 
									
  • 
										
    k(A2+B2)ε/2 est un terme constant, également créé, qui peut être nommé "terme de redressement", par référence au cas des courants électriques
    
									
    • 
									
  • 
										
    Enfin, 2 ε k AB cos ω1t cos ω2t, est le terme tout aussi créé, mais qui nous intéresse le plus.
    
									
    • 
								

								
En effet, on peut écrire, en employant la classique transformation d'un produit de cosinus en somme:

								
2 ε k AB cos ω1t cos ω2t = k ε AB [cos (ω1 + ω2)t + cos (ω1 - ω2)t]

								
Deux nouvelles notes ont donc été produites, de même module ε k AB, l'une (dite "son résultant additif") à la pulsation (ω1 + ω2), l'autre (dite son résultant différentiel) à la pulsation (ω1 - ω2)

								
On en conclu que la note dite additive ne serait "plus faiblement perçue" que la note différentielle, uniquement en raison de sa fréquence bien plus élevée.

								
NB: Il est à noter qu'une telle "boite noire" particulière concerne un raisonnement qui peut s'appliquer à tout mouvement vibratoire: acoustique, courant électrique alternatif, mécanique ondulatoire etc. C'est pourquoi Feynman n'était pas un "traîne-mégots" dans ses raisonnements à fort potentiel heuristique.

									
						

					

					
Il serait alors légitime de se demander si une note musicale de fréquence f peut produire des notes résultantes avec les harmoniques qui l'accompagnent.

					
En ce cas, la note peut se décomposer en série de Fourier, de la forme:

					
∑0∞ an sin (2πnft+ φn)

					
où

					

						
an est l'inensité de l'harmonique de rang n,

						
φn est sa phase.

						
Deux harmoniques, par exemple, de rangs k et l, qui seraient amenés à produire des notes résultantes, produiraient alors des notes de fréquences (k+l)f et |k-l|f, ainsi que leurs harmoniques 2, toutes notes également harmoniques de la fondamentale.

						
On en conclu que seul le spectre (suite des coefficients an) de la note est modifié.

					

						
			

			

				 
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En pratique - Practical

		

			

				  
				
					

					

						

							
								
Pour résumer, en acoustique non linéaire, en un point, deux notes suffisamment puissantes pourraient interagir et engendrer:

								
    
									
  • hormis les notes génératrices elles-mêmes, qui restent présentes comme l'intuition la plus banale le réclame,
    • 
									
  • des distorsions harmoniques, faisant donc partie du domaine musical au sens large,
    • 
									
  • une surpression ponctuelle (souvent dite "de redressement"), assimilable à une "onde de choc" de valeur constante (sauf propagation), donc a priori non musicale, et éventuellement cause d'une sorte de "gène" auditive passagère,
    • 
									
  • deux notes résultantes, respectivement additives et différentielles,
    • 
									
  • ainsi que des harmoniques respectifs (qui accompagnent physiquement toute note pure théorique).
    • 
								

									
						

					

					
 

						
			

			

				 
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Poil à gratter - Itching powder

		

			

				  
				
					
Je suis parti à la chasse aux notes résultantes.

					
Si j'en attrape une, je vous l'apporte encore fumante.

					
En effet, si je sais à présent "qu'une boite noire me regarde" (éventuellement) et fabrique les notes résultantes, je ne sais toujours pas si cette boite existe physiquement, ou si elle n'est que le reflet du fonctionnement de mon oreille parvenue à saturation, voire, un effet du fonctionnement de mon seul cerveau.

					
D'ailleurs, ce brave Richard P. Feynman ajoutait prudemment à ce propos précis, que: "Cela n'est pas parfaitement clair!"

					
Supposons en effet qu'on veuille mesurer le phénomène, comme l'exigerait le physicien normalement constitué. On se tournerait par exemple vers l'analyse d'un signal capté par un microphone. Mais le défaut de linéarité sensé être mesuré viendrait-il de la source, de la propagation des ondes, ou des défauts techniques du microphone? etc., etc...

					
Quand aux phénomènes non mesurables, purement liés à la perception, s'ils ne sortent pas de mes préoccupations, ils sont hors du domaine de mes compétences. 

					
Peut-être la "trace" physique des notes résultantes serait-elle la mesure la surpression constante engendrée, partie réputée "non musicale" et semblable à la propagation d'une "onde de choc"?

					
L'acousticien un peu lâche (cas fréquent) pourrait se satisfaire de la pirouette: "l'acoustique musicale est, par définition, le domaine du linéaire, et les sons résultants en sont donc exclus".

					
Mais si un peu de bon sens oblige à admettre que l'acoustique traite de tout ce qui est effectivement perçu par le canal de l'ouïe, on peut se demander si les sons résultants ne sont pas ce "piment" de la musique, ce fameux "grain de son" recherché par nos enfants qui écoutent toujours "trop fort" (d'après nous) leurs "scies musicales".

					
A suivre.

					
Denières nouvelles du front:

					
Récemment , le Dr Bernard Auriol, honorable correspondant et membre des "consultants officiels" de ce site, m'a fait part de résultats de travaux qui semblent confirmer la formation physique de surpressions correspondantes aux fameuses notes résultantes, qui se développeraient dans le canal auditif.

						(voir http://auriol.free.fr/psychosonique/psycho-physiologie-ecoute/resultants.htm)

					
Incidemment, soit-il remercié pour le dépistage de quelques erreurs de cette page.

					Sous réserve de vérification de la méthodologie et des résultats des mesures effectuées, on peut donc légitimement supposer une réelle manifestation de localisation spatiale du phénomène dans l'oreille interne.
					
Cependant, les auteurs précisent que les liaisons des surpressions avec la cochlée restent mystérieuses. 

					

						
			

			

				
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											Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©

											  
												
											

											
									
										
 

											
								

							

						

					

					
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