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10 - Variation du point de pincement, d'attaque, ou d'ébranlement de la corde.

Principe de dualité-équivalence avec le déplacement du micro.

(Voir également les autres pages sur les micros)

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Théorie - Theory

  1 - Point d'ébranlement, noeud de vibration, et disparition d'harmoniques:

Etant donnée l'influence de la largeur 2X de la fenêtre de lecture du micro, ainsi que de la distance d chevalet-micro sur la sonorité générale obtenue, on peut également tenter d'étudier l'influence du point d'ébranlement de la corde (au doigt, médiator, e-bow ou autre médium), dont on s'attend qu'elle ait une forte analogie et intrication avec l'influence de la distance d.

L'approche classique consiste à considérer que le point d'ébranlement est un point à partir duquel la corde est:

  • d'abord silencieusement déformée,
  • puis lâchée avec une vitesse nulle à l'origine du son produit, au temps t=0.

C'est évidemment une simplification, mas fort utile au départ.

Dans ce cas, comme indiqué dans l'étude sommaire de la corde vibrante théorique, on peut démontrer que certains harmoniques restent absents, pour assurer la condition de vitesse nulle imposée au temps t=0.

Si p est l'abscisse du point d'ébranlement, restent absents les harmoniques qui auraient un noeud au point d'abscisse p.

Exemple: vibrations d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au 1/3 de sa longueur (rappel de la page sur la corde vibrante théorique):

(after Dr. Dan Russell, Kettering University):
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/string/Fixed.html

Lorsqu'une telle corde est mise en vibration par un ébranlement (au travers d'un médiator, doigt ou autre moyen), elle vibrera simultanément selon ses nombreuses fréquences de résonance naturelles.

La façon dont la détermination exacte de ces résonances naturelles façonne la vibration finale de la corde, dépend de la forme de son déplacement initial.

Le "dessin animé" sur la gauche montre la vibration d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au tiers de sa longueur. Vous pouvez observer que la vibration montre deux ondes, l'une progressant de gauche à droite, l'autre dans le sens inverse. Le temps d'un voyage complet est égal à une période de la fondamentale.

 

 

Le théorème de Fourier indique que toute fonction périodique de t, de fréquence f (dite fréquence fondamentale), de moyenne nulle, peut être reconstruite, d'une seule façon, à partir d'une somme de fonctions (dites harmoniques de la fondamentale), de la forme sin(nft) et cos(nft), dotées des amplitudes appropriées (sous certaines conditions de régularité).

Ce théorème est donc une sorte de réciproque de mon approche de la corde théorique, qu'il justifierait "a posteriori".

La figure de gauche montre l'amplitude et la phase des six premiers modes naturels de vibration qui s'additionnent pour reconstituer la position initiale de la corde précédente, ébranlée au tiers de sa longueur (la forme exacte réclamerait TOUTES les valeurs de n, jusqu'à l'infini).

[code des couleurs: somme, n=1, n=2, n=3,n=4, n=5, n=6 ]

Vous pouvez remarquer que les modes correspondants à n=3 et n=6 sont absents. Ca résulte du fait que les modes vibratoires possédant un noeud au point d'ébranlement ne seront pas sollicités. Il en sera ainsi pour tous les modes multiples de 3 (3f et ses harmoniques), pour satisfaire les conditions aux limites.

On en déduit que la coloration particulière du son due au choix du point d'ébranlement est précisément caractérisée par l'absence de tels harmoniques susceptibles d'avoir un noeud de vibration en ce point

En effet, dans le cas d'une note de fréquence fondamentale f , l'amplitude y peut s'écrire:

 y = a sin(2ft + φ) sin(2xf/Lf0)  

et la vitesse v de la corde au point x est (voir window.htm):

 v = 2 fa cos(2 ft +φ) sin(2 xf/Lf0)

x est la distance du point courant avec le chevalet

L est la longueur de corde à vide

f0 est la fréquence fondamentale correspondant à la corde à vide

Les noeuds de vibration des éventuels harmoniques sont tels de v=0 quel que soit le temps t.

Ils se produisent donc à une distance p du chevalet (point d'ébranlement p,indépendant du temps) telle que sin(2pf/Lf0) = 0, soit 2pf/Lf0 = n∏, et finalement:

p = nLf0/2f , où n est un entier positif quelconque

On voit qu'alors le déplacement y(p) correspondant est identiquement nul.

NB: le cas n=0 est envisageable en théorie, le chevalet étant LE seul noeud obligé de toutes les vibrations

2 - Démonstration et conclusion:

En ce cas, il semble étrange que toutes les fréquences f = nLf0/2p disparaissent, puiqu'elles correspondent au point le plus sollicité au temps initial t=0.

Pourtant, dès 1868, Helmohltz avait démontré la pertinence de ce paradoxe apparent.

Cependant nous admettrons ce pur fait mathématique (en raisonnant par réduction à l'absurde), en remarquant que, physiquement, le pincement en un point p entraîne à la fois pour de telles fréquences:

  • un noeud de vibration en ce point, d'après la démonstration précédente,
  • ET un mouvement du même point au voisinage de la condition initiale t=0.

La conséquence logique est que de telles fréquences et leurs harmoniques ne peuvent se développer physiquement et ... sont donc totalement absents.

Conclusion:

Pour une corde pincée à la distance p du chevalet, disparaissent toutes les fréquences telles que:
  • f = nLf0/2p, c'est à dire l'ensemble des harmoniques de la fréqence Lf0/2p,
  • soient encore, l'ensemble des fréquences succeptibles de présenter un noeud de vibration au point p.

Cette condition étant la seule imposée par le lieu d'ébranlement (ou de pincement, ou encore d'attaque) de la corde, constitue donc LA caractéristique de l'influence de ce lieu sur la sonorité.

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En pratique - Practical

 

En introduisant la variable auxiliaire d-p, on peut écrire d= (d-p) + p et alors:

sin(2fd/Lf0) = sin[2f(d-p)/Lf0]cos(2fp/Lf0) + cos[2f(d-p)/Lf0]sin(2fp/Lf0)

Mais par définition de p, on a toujours sin(2fp/Lf0) = sin(2n) =0 et cos(2fp/Lf0) = cos(2n) = 1, soit:

sin(2fp/Lf0) = sin[2f(d-p)/Lf0]

Revenons à l'équation fondamentale du micro.

Dans les conditions précédentes, le coefficient de pondération caractéristique du micro devient alors:

A(f) = e/emusicale = sin[2f(d-p)/Lf0]sin(2fX/Lf0)

Le coefficient de pondération peut donc s'exprimer, non seulement géométriquement par rapport à X et d, mais plus précisément par rapport à la distance (d-p) qui sépare point de pincement et micro.

Mais que se passerait-il si le coup de médiator (ou autre médium) était donné "pile" au-dessus du centre du micro?

Et bien, tout simplement (d-p) = 0 et :

A(f) = 0 !!!

La force électromotrice créée par le micro serait donc annulée?

Heureusement, ni la corde, ni le micro ne sont parfaits. Et, entre autres, le centre théorique du micro est une notion bien floue dans la réalité.

On ne peut donc seulement dire, qu'en raison de la continuité des phénomènes physiques considérés:

le son est minimisé, si l'attaque de la corde est faite au voisinage du centre du micro.

Enfin, on peut conclure en remarquant que tout raisonnement basé sur la variation de sonorité induite par un déplacement du micro, est instantanément transposables à celui qui concernerait un déplacement du point d'attaque de la corde, puisque qu'exprimables tous deux par la valeur commune de (d-p).

Il s'agit donc de deux phénomènes (d'origine "géométrique") qui peuvent être qualifiés de "duaux", ou plus grossièrement "équivalents" en langage courant.

On prendra seulement garde que, si d est par définition positif, (d-p) peut éventuellement devenir négatif.

En ce cas, un raisonnement trop hâtif pourrait amener à des interprétations erronées des transpositions induites par un "principe de dualité" mal appliquée.

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Poil à gratter - Itching powder

 

Les paramètres du micro, bien connus du guitariste expérimenté, sont donc traduits par cette théorie unificatrice, qui montre l'unicité de l'origine de trois réalités factuelles acoustiques, incontournables et intimement intriqués, à savoir, les influences sur la sonorité de:

  • La largeur 2X de fenêtre de lecture
  • La distance d micro/chevalet
  • La distance (d-p) entre "point-de-pincement" et micro.

Sans parler de l'équivalence duale entre "déplacement du micro" et "déplacement du point d'attaque", également "naïvement" bien connue du musicien.

Quitte à fâcher les esprits chagrins, avant toute définition d'un protocole de mesures à venir, uniquement destiné à convaincre les incrédules, je sais déjà que ma théorie est la bonne.

Mais on prendra bien garde, dans le cadre de mesures précises à venir, que le micro ici défini, tout comme la corde vibrante évoquée, ne sont que des éléments théoriques, représentants approchés, de simples métaphores de leur cousins réels.

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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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