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La Gamme Bien Tempérée Théorique et calcul de l'emplacement des frettes sur la guitare

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(Merci à l'ami Benoît Navarret pour ses remarques judicieuses)




Théorie - Theory

 

I - La Gamme Bien Tempérée Théorique (GBTT, en abrégé):

Cette gamme n'est ni la plus récente, ni la meilleure, ni la plus juste des gammes utilisées, ... dans la mesure où il existerait une telle merveille.

En particulier, un piano classique, accordé strictement suivant la GBTT, sonnerait comme une casserole fêlée.

Cependant, c'est la gamme utilisée pour le calcul usuel de l'emplacement des frettes, le système MIDI, et pour la plupart des instruments électroniques (accordeurs compris).

Elle est basée sur trois principes générateurs qui déterminent totalement la fréquence de chaque demi-ton:

1 - L'idée de départ en est la justesse absolue des octaves.

NB: certaines gammes, comme celle du "tempérament égal à quintes justes" de Serges Cordier (TEQJ), ne respectent pas cette règle.

C'est à dire que les fréquences en sont toutes multiples ou diviseurs pairs exacts de la fréquence d'une note de référence.

Ainsi, le "La" ou La3 du diapason moderne, bat à 440 Hertz et donne son nom, par extension, aux harmoniques et sous harmoniques suivants (limités aux harmoniques théoriquement audibles entre 20 Hz et 20 kHz):

noms des notes La-1 La0 La1 La2 La3 La4 La5 La6 La7 La8
fréquences, en Hertz 27,5 55 110 220 440 880 1760 3520 7040 14080

Bien que théoriquement distinctes, par leurs fréquences et leurs perceptions auditives, toutes ces notes ont un caractère ressenti "suffisamment" commun, pour être désignées sous le même nom générique de "La".

Ces notes, toutes appelée La, aux fréquences multiples ou sous-multiples pairs du La3 (440) sont dites octaves, ou sous octaves, du La3 (440) et, toujours par extension, le même nom d'«octave» est donné à l'écart en chacune de ces notes consécutives.

Donc une octave désigne à la fois:

  • une note de fréquence multiple, ou diviseur, pair d'une note choisie
  • l'écart entre deux notes, octaves consécutives l'une de l'autre

Par exemple le La2 (220) et le La3 (440) sont des notes octaves l'une de l'autre et leur écart est également nommé octave.

Premier principe: si f0 est la fréquence d'une note, sa n-ième octave bat exactement à la fréquence f = f0x2n où n peut être positif, négatif ou nul.

2 - Ensuite,  chaque écart d'une octave est divisé en 12 parties, que je nomme demi-tons dodécaphoniques, soient 13 notes ou degrés, en comptant les deux notes extrêmes (qui sont donc deux notes octaves consécutives).

Ces degrés sont nommées, à partir de chaque note La:

Nom choisi La La# ou Si b Si Do Do# ou Ré b Ré# ou Mi b Mi Fa Fa# ou Sol b Sol Sol# ou La b La
Rang du degré 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nom relatif (écart) fondamentale seconde mineure  seconde tierce mineure tierce majeure quarte quinte diminuée quinte quinte augmentée sixte 7ème 7ème majeure 1ère octave

Cette dénomination est étendue à tous les rangs, qu'ils soient  inférieurs à 0 ou supérieurs à 12.

Second principe: si un degré est de rang n , ses notes octaves seront de rang 12+n. Donc, si fn est sa fréquence, celle de sa première octave sera 2 fn=fn+12

 

3 - Enfin, chaque degré doit pouvoir être le point de départ d'une nouvelle échelle de degrés identique

Alors fn+1/fn=µ doit rester constant, indépendant de n.

Et on a: 2 fn=fn+1212x fn, soit µ = 21/12

µ=21/12 est donc l'écart multiplicatif unique et constant qui sépare les fréquences de deux notes adjacentes, c'est à dire deux notes séparées d'un demi tons.

Troisième principe: la fréquence d'un degré de rang n est donc, par rapport au rang de départ (rang 0, par définition): fn=f02n/12

En résumé:

Chaque octave est divisée en 12 demi tons complètement identiques, permettant la transposition de tout morceau de musique dans tous les 12 demi tons.

Les notes altérées par les dièses et bémols ne sortent pas des 12 demi-tons ici nommés "dodécaphoniques ".
Par exemple Do# est strictement identique à Ré b de même que Do b est confondu avec Si etc.

NB: le terme, ici employé, de "demi-ton docécaphonique" est un néologisme qui correspond aux trois règles génératrices énumérées ici, mais qui désigne tout autre chose que le qualificatif "docécaponique", appliqué à un genre musical.

II -Emplacement (ou position) des frettes 

En revanche, la longueur utile d'une corde (distance entre chevalet et frette) varie en sens inverse de la fréquence, de sorte qu'une corde de longueur utile L à vide devient, si n est le rang du demi ton choisi, à partir de la note à vide:

Ln=L/2n/12 

Et la distance entre sillet de tête et frette est alors:

L-Ln=L(1-1/2n/12)

Les matheux férus de calculs "vieux style" sortiront leurs tables de logarithmes népériens (notés "Log") ou décimaux (notés "log"), en tenant compte du fait que :

2n= 10n.log2= en.Log2

Les normaux (non matheux) ou fainéants ... me feront confiance, ...c'est toujours ça de pris sur l'ennemi du Corse (le travail).


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En pratique - Facts

 

Il résulte du chapitre précédent, qu'un tableau peut être établi indiquant les fréquence de toutes les notes par rapport au La4 (440), ou tableau de la GBTT.

Arrêté à la seconde décimale, et limité aux notes réellement perceptibles (entre 27 et 20 000 Hz), on obtient:

Note Base Octave 1 Octave 2 Octave 3 Octave 4 Octave 5 Octave 6 Octave 7 Octave 8 Octave 9
La 27,50 55,00 110,00 220,00 440,00 880,00 1760,00 3520,00 7040,00 14080,00
Sib 29,14 58,27 116,54 233,08 466,16 932,33 1864,66 3729,31 7458,62 14917,24
SI 30,87 61,74 123,47 246,94 493,88 987,77 1975,53 3951,07 7902,13 15804,27
DO 32,70 65,41 130,81 261,63 523,25 1046,50 2093,00 4186,01 8372,02 16744,04
DO# 34,65 69,30 138,59 277,18 554,37 1108,73 2217,46 4434,92 8869,84 17739,69
RE 36,71 73,42 146,83 293,66 587,33 1174,66 2349,32 4698,64 9397,27 18794,55
Mib 38,89 77,78 155,56 311,13 622,25 1244,51 2489,02 4978,03 9956,06 19912,13
MI 41,20 82,41 164,81 329,63 659,26 1318,51 2637,02 5274,04 10548,08  
FA 43,65 87,31 174,61 349,23 698,46 1396,91 2793,83 5587,65 11175,30  
FA# 46,25 92,50 185,00 369,99 739,99 1479,98 2959,96 5919,91 11839,82  
SOL 49,00 98,00 196,00 392,00 783,99 1567,98 3135,96 6271,93 12543,85  
SOL# 51,91 103,83 207,65 415,30 830,61 1661,22 3322,44 6644,88 13289,75  

Limité aux notes de la guitare, on obtient, en s'arrêtant à la double octave de Mi aigu:

Note Octave 1 Octave 2 Octave 3 Octave 4 Octave 5 Octave 6
La   110,00 220,00 440,00 880,00 1760,00
Sib   116,54 233,08 466,16 932,33 1864,66
SI   123,47 246,94 493,88 987,77 1975,53
DO   130,81 261,63 523,25 1046,50 2093,00
DO#   138,59 277,18 554,37 1108,73 2217,46
RE   146,83 293,66 587,33 1174,66 2349,32
Mib   155,56 311,13 622,25 1244,51 2489,02
MI 82,41 164,81 329,63 659,26 1318,51 2637,02
FA 87,31 174,61 349,23 698,46 1396,91  
FA# 92,50 185,00 369,99 739,99 1479,98  
SOL 98,00 196,00 392,00 783,99 1567,98  
SOL# 103,83 207,65 415,30 830,61 1661,22  

Pour les distances frettes-chevalet ou frettes-sillet de tête, les calculs ne peuvent être fournis par un simple tableau car ils varient en fonction de la longueur de la corde à vide. En revanche, je vous les donne sous forme d'une feuille de calcul zippée, que vous pouvez télécharger en cliquant sur le lien ==> télécharger Gbtt.zip

III - Calcul de l'emplacement, frette après frette

Une autre façon de raisonner consiste, après avoir judicieusement placé une frette, à placer la suivante.

Par exemple, si le sillet représente la frette 0 (donc située à la distance  L du chevalet), la frette suivante (donc la frette n°1) est située à la distance L1=L/21/12 à partir du chevalet, l'intervalle entre ces deux frettes est alors L-L1= L-L/21/12 = L(1-1/21/12) = L/17,8171537. 

La "règle des dix-huit", publiée au XVII-ième siècle, indiquait qu'une frette devrait se trouver à une distance de la précédente égale à un dix-huitième de la distance séparant la précédente du chevalet.
L'erreur était faible entre 18 et les 17,8171537, mais suffisante pour approcher les bonnes valeurs concernant les frettes ligaturées, alors mobiles, de l'époque.

En appliquant le même raisonnement à chaque frette, de proche en proche, la règle de position des frettes peut s'interpréter ainsi:

La position d'une frette  de rang n étant déterminée, et située à la distance Ln du chevalet, la frette suivante en est séparée de la distance  Ln/17,8171537

D'où une détermination des frettes de proche en proche, qui satisfera mieux certains, par opposition au calcul global de l'ensemble.

Good luck, happy guitar builders!


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Poil à gratter - Itching powder

 

Mais, comme dirait mon ami Doumé Chuchuchelli, ... ça se corse:

Les quintes, les tierces et tous les autres harmoniques - dits "justes" - d'une note donnée, y sont horriblement faussés et l'ensemble de la gamme sonne comme une casserole pour des gens plus "pointus" que les guitaristes, comme les pianistes ou les accordeurs de piano.

Par exemple, 
- la "tierce exacte" de La 440 devrait sonner à 5/4 de 440, soit 550 Hz, ... alors que le Do# GBTT bat à 554,37 Hz
- sa "quinte juste" devrait respecter les 3/2 de 440, soit 660 Hz, ... alors que l'octave du Mi aigu GBTT est fixée à 659.26 Hz

NB: A ce propos, il est remarquable que certains accordeurs de piano utilisent LEUR PROPRE gamme bien tempérée, certes justifiée par le résultat artistique final, mais qui s'écarte notablement de la GBTT qu'il croient naïvement respecter. (Voir "PIANO bien tempéré et JUSTESSE orchestrale", par Serge Cordier, chez Buchet/Chastel)

De sorte que certains facteurs ont été jusqu'à inventer des frettages "exotiques", sensés corriger certains défauts de la GBTT. Mais la "correction" apportée, déjà imparfaite, ajoute des difficultés qui les rendent inusitées en pratique.

La différence entre les harmoniques "vrais" et les notes de le GBTT est faible, soit, mais incompatible avec des instruments tels que les claviers ou les instruments du quatuor classique, qui trichent -mais pour la bonne cause- avec la gamme bien tempérée.

Sans compter les musiciens, ou simples amateurs, adeptes des tempéraments anciens, historiquement réels - ou supposés tels -, qui ne jurent que par des gammes dédiées à des œuvres qui ne supportent pas la transposition dodécaphonique générale, telle que je la définis.

Quelle belle gamme, qui permet de transposer dans tous les tons et qui fait que, guitares, basses et, en général, tous instruments ordinairement frettés, puissent jouer et transposer impunément dans tous les tons!

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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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