Position du problème

La théorie ici présentée concerne exclusivement le micro de guitare électrique le plus classique, dit "micro électromagnétique", ou parfois "micro à réluctance variable", même s'il n'est plus électroacoustique comme l'original de 1857, mais électromécanique.
Comme nous allons le voir, il transforme en effet la
vitesse de vibration mécanique des cordes en force électromotrice.

En fait, trois difficultés sont à résoudre.

1) La première vient en partie du fait que l'interaction corde-micro est plus complexe qu'on l'a cru. 

En effet, le champ magnétique générateur (l'induction magnétique, à proprement parler), indépendant du temps, et créé par le micro, induit un champ secondaire à l'intérieur même des cordes ferromagnétiques, qui réagissent en produisant un champ magnétique extérieur aux cordes, qui perturbe le champ générateur créé par les micros.

En résumé, on a affaire à trois types de champs d'induction magnétique, intimement liés:

  1. le champ primaire fixe, ou champ d'induction générateur, créé par les micros,

  2. un champ secondaire variable, induit DANS les cordes, localement aimantées par l'induction génératrice,

  3. un deuxième champ secondaire variable, ou champ perturbateur, dû à l'aimantation locale des cordes, mais développé HORS des cordes.

Or c'est précisément ce champ de perturbation, variable dans le temps, dont la variation de flux dans les bobines induit la force électromotrice qui apparaît en leur sein.

Malheureusement, si le champ perturbateur dépend effectivement du champ générateur, il dépend également du champ induit DANS les cordes, donc de la perméabilité magnétique desdites cordes, ainsi que de leur géométrie. Et, dans la mesure où le calcul en serait possible, on s'aperçoit qu'une telle approche du champ perturbateur réclamerait des moyens algorithmiques colossaux, à mettre en œuvre "au cas par cas" au cours du temps. 
Qui plus est, on se demande comment on pourrait réaliser en pratique la mesure directe qu'un tel champ, à la fois, très faible, et variable au cours du temps

2) D'un autre côté, deux phénomènes musicaux expérimentaux, d'ordre géométrique (ou topologique), réclament une explication, si possible commune: 

3) Plus classique, l'influence des impédances internes et externes au micro, rajoute sa participation à la sonorité générale.Haut de page


Méthode employée

La solution proposée ici, consiste à employer la notion de réluctance, qui permet de lier "vitesse de corde" et "variation de flux", sans nécessiter le calcul effectif du champ perturbateur.

Puis on verra qu'une telle approche introduit automatiquement les deux notions topologiques, de "forme" générale du champ, et d'emplacement du micro, par l'intermédiaire d'un coefficient de pondération caractéristique du micro, tout en reportant au chevalet l'origine des mesures de longueur de la corde vibrante, ainsi qu'en éliminant explicitement la position des éventuelles frettes

Dès lors, apparaîtra une méthode de mesure indirecte du champ perturbateur, avec la notion de "coefficient linéique d'influence ponctuelle" d'une corde.

Ensuite, on étudiera l'influence des impédances, au rôle secondaire, par trop privilégié dans les textes classiquement publiés jusqu'alors.

Enfin, on verra que la théorie de la "fenêtre de lecture" induit naturellement une "dualité" entre deux déplacements: celui du miro et celui du point de pincement de la corde.


Notations

L'origine "htlm" des textes ne permettant pas toutes les notations mathématiques usuelles, il est convenu, en principe:

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Poil à gratter

Comme l'indique le titre de la page, il s'agit d'une théorie.

C'est-à-dire quelle se doit de prévoir le maximum de faits connus du guitariste, en accord avec les principes universels de la physique.

Mais cette théorie, bien que cohérente avec les lois de l'électromagnétisme, ne restera qu'une hypothèse, tant que les expériences quantitatives n'ont pas été réalisées, en particulier sur le coefficient linéique d'influence ponctuelle k, d'une corde sur un micro.

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Réluctance d'un circuit magnétique, et relation fondamentale vitesse-force électromotrice

      1. Généralités

      2. Cas d'un micro

      3. Petits mouvements de la corde

      4. Relation fondamentale du couple corde-micro, ou relation vitesse-fem

Théorie

1. Généralités sur la réluctance d'un circuit magnétique:

γ Hdl = ∫γ Hcdl

γ Hdl = ∫γ Hcdl = NI

γ Hdl = ∫γ Hdl=NI

Φ = BS = µHS

Alors, tout au long du circuit magnétique, on a:

NI = γ Hdl = Φγ Φdl/µS = R Φ

R = ∫γ dl/µS , caractéristique de l'ensemble du circuit magnétique, est dite réluctance du circuit

2. Dans le cas d'un micro électromagnétique pour guitare, le circuit magnétique est constitué des aimants et pièces polaires, en série avec l'entrefer micro/corde et la corde de diamètre D, pour se refermer (en passnant éventuellement à l'infini), d'un pôle Nord vers un pôle Sud.

De plus ce circuit magnétique traverse un circuit électrique: une bobine de N spires, de self L et parcourue par un courant I.

Si on considère un tube de champ de section S, partant du pôle Nord des aimants et traversant:

  1. le circuit aimants/pièces polaires, de perméabilité µ1, de longueur l

  2. l'entrefer aimants/corde, de longueur ß et de perméabilité µ0 (celle du vide),

  3. une corde de perméabilité magnétique µ,

  4. l'entrefer de retour vers le pôle Sud, de perméabilité µ0,

alors la réluctance totale est la somme:

  1. de la réluctance du système aimanté: l1S

  2. de la réluctance du premier entrefer: ß0S

  3. de la réluctance de la corde: DS

  4. du retour aérien au pole Sud, où S tend vers l'infini, et donc la réluctance, vers 0

Soit R = l1S + ßµ0S + DS = 1/S(l1 + ß0 + D), avec µ0<<µ1 et µ0<<µ

D'où NI/Φ = Rß0S

En raison de la faible perméabilité magnétique de l'air,

la réluctance globale ne dépend sensiblement que de celle de l'entrefer aérien entre micro et corde.

Soit:

ΦSNIµ0/ß

, en remarquant que la surface S alors considérée:
s'appuie sur la corde,
et possède la longueur attribuée à la fenêtre de lecture.

3. Petits mouvements de la corde:

D'après la loi de Lenz et la définition de la self induction L, il apparaît une f.e.m. induite U(t) aux bornes de la bobine, telle que (si d représente le symbole de la différentielle d'une fonction):

U = - d(LI)/dt = -dΦ /dt

soit

U = -LdI/dt - IdL/dt

En application du théorème d'Ampère:

RΦ = RLI = NI soit RL =constante

Dans le cas de petits mouvements y(t) autour de la position ß au repos, alors:

U = -LdI/dt - IdL/dt = -L0 di/dt - (IL0 /ß)dy/dt = -L0 di/dt - (Φ0/ß)dy/dt

4. Relation fondamentale du couple corde-micro, ou relation vitesse-f.e.m.:

Finalement, la f.e.m. pure induite est, au signe près:

e = (Φ0/ß) v

  • ß est la distance corde/micro, au repos

  • Φ0 est le flux traversant la surface S , corde au repos

  • v = dy/dt est la vitesse de la corde au temps t

NB: La théorie, supposée applicable à un "single coil", est généralisable à un "humbucker", avec une seconde réluctance active en parallèle (second entrefer), et avec un résultat final facilement transposable.
On peut alors monter (cf. Capteurs.pdf , page 3, première ligne), que (
Φ0/ß) est le coefficient de couplage corde/micro, à la fois électrique ET mécanique.

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En pratique

Dans le cas particulier d'une corde vibrante, chaque élément de corde dx intercepte sa contribution dΦ0(x) au flux total, et engendre la f.e.m. de, telle que:

de = ( v/ß) dΦ0

, à comparer à la définition adoptée pour le "coefficient linéique d'influence ponctuelle" k(x) de la corde sur le micro, au point x considéré":

de = kv dx

On en tire la valeur, donc une interprétation et légitimation du coefficient k (en weber par mètre carré, soit la dimension d'une induction), jusqu'ici arbitrairement introduit:

k = (1/ß) dΦ0/dx

Φ0(x) est, par exemple, le flux traversant la corde immobile, depuis une extrémité de la fenêtre de lecture, jusqu'au point x, à une constante près.

On peut ajouter, qu'en toute rigueur, les seuls mouvements perceptibles par un tel micro, sont des mouvements de la corde situés dans la direction de l'axe des pôles, en pratique, les mouvements perpendiculaires à la table de la guitare.


J'ai eu chaud!

Pfuit!

J'ai eu chaud.

Je n'arrivais pas à justifier par la seule théorie ce "&@*$#" (excusez les gros mots) de coefficient d'influence ponctuel k de la corde, qui me semblait pourtant intuitivement exister.

L'honneur est donc sauf.

Mais il me reste:

  1. à généraliser le coefficient k, pour un mouvement non colinéaire à l'axe des pôles, donc pour un mouvement quelconque, ce qui me semble relativement intuitif en raison de la linéarité des équations liées aux petits mouvements,

  2. si By(x) désigne la composante de B suivant l'axe y des pôles, il serait intéressant de justifier une autre intuition, celle qui consiste à identifier le coiffaient k (homogène à une induction) à (µ/µ0)FBy(x) , où F serait un coefficient sans dimension, ne dépendant que de la forme de la section de corde,

  3. à déterminer, puis appliquer, les protocoles de mesures destinées à conforter définitivement ce qui n'est provisoirement qu'une théorie, certes fortement vraisemblable, mais encore critiquable.

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La "fenêtre de lecture" d'un micro!

Equation fondamentale, et "timbre" d'un micro.

Avant propos: principe du point fixe et changement de variable:

Les études concernant la sonorité de micros publiés jusqu'à aujourd'hui (1er décembre 2007), sont basées sur une corde théorique:

NB: la "corde théorique" est une simplification (parfaitement justifiée pour notre propos) de la corde réelle qui est en réalité, pour le mécanicien théorique, une poutre plus ou moins rigide, plus ou moins encastrée, et susceptible de vibrations plus ou moins "exotiques".

Les divers auteurs se sont alors acharnés à décrire les variations de la sonorité d'un micro, en fonction de la longueur active de la corde entre frettes et chevalet (hautement variable), sans se rendre compte qu'auditivement, le seul paramètre significatif sur la sonorité captée en un point était la distance x (immuable pour ce point) qui sépare ledit point du chevalet.

Il n'est donc pas étonnant qu'aucune des précédentes études n'aboutissent qu'à un échec, comme la simple expérience du musicien aurait du le pressentir.

Pourtant, la solution ne réside qu'en un changement de variable qui élimine la longueur de la corde frettée (code appuyée sur le chevalet ET une frette).
Au lieu de d'utiliser la position matérielle d'une frette, il suffit de considérer la longueur d'onde
l de la note qu'elle détermine, à l'aide de la relation 2Lf0 = (T/ml)1/2= lf, caractéristique de la corde vibrante tendue, uniquement dépendante de la force de tension T appliquée et de la masse linéique µ de la corde.

On s'affranchit ainsi de la position matérielle d'une frette, en remplaçant:

Pour étudier les vibrations correspondant à une note en un point situé à la distance x du chevalet, dans la suite de cette page, les paramètres de distances seront exprimés uniquement en fonction de:

  • la distance x mesurée à partir du chevalet,

  • de la longueur L de corde à vide,

  • de la fréquence f0 de la note à vide

  • de la longueur d'onde l de la note à étudier.

Définition de l'influence d'un élément de corde en un point:

Un élément de corde de longueur dx, plongé dans le champ magnétique d'un micro, acquière lui-même une aimantation, qui dépend:

Cet élément peut être alors assimilé à un dipôle magnétique, dont les mouvements induisent un flux variable dans les bobinages du micro.

Malheureusement, un tel dipôle est très difficile à modéliser avec précision.

Cependant, il est légitime de supposer (avec d, symbole de la différentiation mathématique), qu'un tel élément, doté d'une vitesse v(x,t), induit une force électromotrice élémentaire de, proportionnelle à sa longueur dx et à sa vitesse v, ainsi qu'à un coefficient de proportionnalité k, ne dépendant que du champ au point x et de la nature (géométrie et perméabilité) de la corde en ce point.

Un tel coefficient k répond alors à l'équation:

dekvdx

Par définition, on le nommera: "coefficient linéique d'influence ponctuel" de la corde sur le micro, au point x considéré.

Ses dimensions sont donc données en weber/mètre carré, soit celle d'une induction magnétique.

Le terme "linéique" rappelle qu'il se rapporte à l'unité de longueur de corde.
Le terme "ponctuel" rappelle qu'il se réfère à un point déterminé de la corde.

Définition de la fenêtre:

Les théories pullulent sur la variabilité de la sonorité des micros, en fonction de leur structure propre, et de leur emplacement sur la guitare.

Bien souvent, l'impédance du circuit équivalent au micro est invoquée comme déesse nourricière de sa sonorité. Des ouvrages entiers y ont été consacrés, pour arriver au mince résultat ... qu'un single coil "sonne" plus aigu qu'un humbucker.

C'est oublier que, dans le cas d'un ampli du commerce, dit "à haute impédance", le micro est bouclé sur une impédance quasi infinie. Alors, les impédances branchées "en série" deviennent négligeables, quand les impédances supposées "en parallèle" (comme des capacités de fuite localisées ou diffuses), deviennent prépondérantes, ... mais sont classiquement négligées.

La belle affaire. La prétendue mère nourricière n'était qu'une marâtre!

De même, on ne compte plus les études sur la variation de la sonorité liée à la localisation du micro sur un point particulier des cordes, sans production de résultats universellement consensuels.

Le point de fonctionnement n'était-il qu'un point d'interrogation?

J'émets donc une hypothèse peu ou pas évoquée dans la littérature: la sonorité ne serait-elle pas liée à la longueur de l'espace longitudinal capté par le micro, ou longueur utile de corde captée, que je nomme "fenêtre de lecture du micro"?

On se rapproche alors de l'étude des effets de la forme du champ magnétique associé au micro, effets dont je soupçonne depuis longtemps l'action, sur la sonorité.

On remarquera ici que la fenêtre ainsi définie, peut éventuellement se confondre avec la largeur visible du micro, mais qu'elle peut en être totalement distincte.

Il s'agit en effet d'une fenêtre immatérielle, lieu où le micro est (plus ou moins régulièrement) sensible à une corde vivante métallique.

Cas d'une note pure (voir: la corde vibrante théorique)

Force électromotrice induite:

A un instant t fixé, l'état de la corde émettant une note pure, ressemble au schéma suivant:

 

L est la longueur totale de la corde, l est la longueur d'onde de la note pure considérée, y est l'élongation de la corde à la distance x du chevalet.

Remarque: il s'agit d'appréhender toutes les notes possibles produites par une corde:

  • harmoniques,

  • notes physiquement frettées, ou avec noeud imposé, par exemple, par un doigt,

  • voire harmoniques d'un bruit quelconque extérieur.

On ne se préoccupe donc pas ici de savoir si la corde est frettée ou non, mais seulement de la description de son comportement à partir du chevalet (portion de gauche sur le schéma), et pour un note pure.

En conséquence, ne vous étonnez pas que l'extrémité de droite ne soit pas entièrement représentée, mais seulement suggérée, car alors seuls comptent:

  • Le point fixe du chevalet, seul point fixe commun à toutes les notes produites par la corde

  • la longueur d'onde l de la note, seule variable caractérisant chaque note

Alors, si f0 est la fréquence de la note à vide, E l'élongation maximale de la note pure considérée, et f sa fréquence:

y = E sin(2π xf/Lf0) (la longueur d'onde étant alors l = 2Lf0/f)

En fonction du temps t, l'élongation E(t)est elle-même une fonction sinusoïdale:

E = a sin(2π ft + φ)

Au total, on a, avec l'amplitude a et la phase φ de la note (voir la page concernant la corde théorique):

 y = a sin(2π ft + φ) sin(2π xf/Lf0)  

On en déduit la vitesse v à l'abscisse x:

 v = 2π fa cos(2π ft +φ) sin(2π xf/Lf0)

Pour simplifier  le problème, on peut alors supposer que la sensibilité k du micro, est constante dans toute sa fenêtre de lecture, de longueur utile de corde captée égale à 2X.

Alors, d'après la définition du coefficient d'influence de la corde, un élément de corde de longueur dx, engendre une f.e.m. de, telle que:

dekvdx (avec d, symbole de la différentiation mathématique)

Remarque: k mesure la faculté d'un élément de corde de longueur dx à engendrer une f.e.m  dans le bobinage.
Cette faculté est nommée ici par convention "influence", mais aurais pu être baptisée "sensibilité".

d'où, pour un micro centré à distance moyenne d du chevalet:

e = kvdx (somme de x=d-X à x=d+X)  (avec , symbole d'intégration mathématique)

soit :

e = 2πkfa cos(2π ft + φ)sin(2π fx/Lf0)dx (somme de x=d-X à x=d+X)

ou, après intégration le long de la fenêtre:

e = -kaLf0 cos(2π ft + φ){cos[2π f(d+X)/Lf0] - cos[2π f(d-X)/Lf0]}

Remarque: le coefficient d'influence k de la corde a été supposé constant, du moins dans un premier temps, sur toute la fenêtre de lecture.
Dans le cas le plus général ou
k = k(x) est  variable en fonction de x, d'après le théorème généralisé de la moyenne, il existe UNE valeur k0 (ou influence moyenne), prise parmi toutes les valeurs atteintes par k(x) dans l'intervalle de la fenêtre, qui satisfait l'intégrale calculée (sous des conditions de continuité peu exigeantes).

Soit, enfin, tous calculs faits, l'équation fondamentale du micro:

  e = 2ak0Lf0 cos(2πft + φ) sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0)

Au total, la force électromotrice engendrée par le micro est proportionnelle:

  • à des paramètres attendus, a priori:

  1. la cause elle même:
     a
    cos(2
    πft + φ), vibration génératrice de la note, en fonction du temps, retransmise au micro sans changement de fréquence, ni déphasage, ce qui assure également la retransmission des transitoires,
  2. un paramètre électromagnétique caractéristique de la corde:
     k
    0, "coefficient d'influence moyen de la corde" sur le micro, valeur de k(x) en un certain point x0, à choisir dans la fenêtre de lecture, évidemment dépendant de la faculté de la corde à s'aimanter localement, mais mais indépendant:
    - de la distance
    d, pour une corde homogène,
    - ainsi que de la fréquence
    f.
  3. un paramètre de la corde, constante d'origine purement mécanique: 2Lf0 = (T/µ)1/2= lf, caractéristique de la corde tendue, uniquement dépendante de la force de tension T appliquée et de la masse linéique µ de la corde, apparu consécutivement à l'intégration le long de la fenêtre de lecture, et indépendant de la fréquence et du micro
  • mais aussi à des valeurs et des "intrications" plus inattendues, mais fortement pressenties par le guitariste expérimenté:

  1. sin(2πfd/Lf0), dépendant de la distance moyenne d, entre chevalet et micro,
  2. sin(2πfX/Lf0), dépendant de la longueur 2X de la fenêtre de lecture,
  • en revanche, la f.e.m. décrite reste totalement indépendante des frettes, utilisées ou non.

On peut remarquer que l'équation fondamentale peut également être écrite, décomposée en deux termes multiplicatifs distinct:

e = 2ak0Lf0 cos(2πft + φ) sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0) =

{2ak0Lf0 cos(2πft + φ)}{sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0)} =

soit, par définition: 

e = emusicale x A

emusicale = 2ak0Lf0 cos(2πft + φ):

  • participation "musicale" de la note de fréquence f à la f.e.m.,

  • dépendante donc du temps t,

  • et de la nature de la corde, toujours supposée homogène,

et

A(f)= sin(2πfd/Lf0) sin(2πfX/Lf0)

A(f) est donc un coefficient d'affaiblissement du signal musical

  • à caractère "géométrique" en fonction des distances d et X,

  • deux fois fonction périodique de la fréquence f,

  • indépendante du temps,

  • caractéristique des paramètres acoustiques du seul micro ET de sa positions,

  • agissant sur l'ensemble du spectre sonore capté par le micro.

Ce coefficent A(f) sera dénommé coefficient de pondération caractéristique du micro.

La valeur sin(2πfd/Lf0) indique un affaiblissement marqué, voire une annulation totale du signal capté, aux voisinages de: 2πfd/Lf0 =  nπ,

Soit, des fréquences de réjection: f = n Lf0/2d (où n est un entier arbitraire positif)

1 - Au voisinage de  fLf0 n/2d (pour tout n, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour un micro centré à la distance d du chevalet.

Le même raisonnement, appliqué à sin(2πfX/Lf0), donne la règle:

2 - Au voisinage de  fLf0 n/2X (pour tout n, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour un micro ayant une longueur de fenêtre de lecture égale à 2X

On remarquera que, les distances d et X étant plus courtes (par construction) que la longueur d'onde la plus courte parmi les notes frettées, les fréquences f concernées par la réjection sont plus hautes que fM, la fondamentale frettée la plus haute.

3 - Ces fréquences de réjection correspondent éventuellement:

  • à des harmoniques d'une note frettée,

  • voire, à des simples bruits,

  • mais, en aucun cas, à la fondamentale d'une note frettée.

Analogie vocale avec les "formants" des syllabes: notion de "chant" du micro.

Dans le cas de la voix, il existe une distinction entre les notions de:

  • timbre vocal, propre à l'expression personelle, souvent inconsciente du phonateur, et relativement dépourvu de valeur sémantique
  • et la notion de voyelles, sonorités communes à un groupe de lucuteurs, culturellement définies, et porteuses valeurs sémantiques.

Par analogie, on peut associer respectivement:

  • "coloration par inpédances" avec "timbre vocal"
  • "sonorité du micro" avec "voyelles"

Dans cette optique, pour le micro, la "fonction de pondération caractéristique" joue de rôle de ce qui est nommé "formants" dans le cas de la voix humaine.
Et la sonorité du micro serait une sorte voyelle particulière, mais musicale, qui caractérise la largeur de sa fenêtre et sa distance du chevalet. Une sorte de "chant" particulier au micro.

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Fréquences de réjection

1 - Pour une note donnée:

Alors, d'après l'équation fondamentale du micro:

la pondération caractéristique A du micro placé à la distance moyenne d du chevalet, est, par définition:

A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf)sin(2πfX/Lf0)

  • Comme on pouvait s'y attendre, cette étude confirme le rôle de la situation moyenne du micro (distance d) par rapport au chevalet et en donne même une évaluation de la modulation, proportionnelle à sin(2πfd/Lf0).

En particulier, sont filtrés, la fréquence f1 = Lf0/2d, ainsi que ses harmoniques n Lf0/2d

Comme je m'y attendais, contrairement aux auteurs conventionnels, elle confirme également le rôle de la topologie du champ magnétique du micro, caractérisé par sa "fenêtre de lecture" de longer 2X. L'évaluation de ce rôle sur la sonorité est du même type: sin(2πfX/Lf0)

En particulier, sont filtrés, la fréquence f2 = Lf0/2X, ainsi que ses harmoniques n Lf0/2X

  • On remarque que, sauf cas extrême où le chevalet empiéterait sur la fenêtre, si fM est la fréquence maximale de la plus haute note frettée, (correspondant donc à la distance frettée dm minimale), on a, par construction même de la guitare:

X<d<dm<L , soit: f0 < fM < f1< f2

De plus, si df est la distance d'une frette donnant une fondamentale de fréquence f, on a toujours, par construction: dm df.

Soit finalement: f0 < f fM < f1< f2

(comme précédemment, aucune fondamentale frettée f, ne subit de réjection)

  • Enfin, A étant le produit de deux sinusoïdes de fréquences respectives f1 et f2, le fait que f1 < f2 indique que A(f) prend l'aspect d'une sinusoïde de période f2, modulée en amplitude par une sinusoïde de période f1.

2 - Par exemple:

Les exemples ont été transcrits plus loin ce chapitre étant déjà assez lourd.

3 - Cas d'une note complexe:

Plus généralement, une note complexe génératrice, de fréquence fondamentale f, supposée infiniment stable dans le temps, est accompagnée de ses harmoniques de fréquences nf (n entier positif) affectés de la phase φn, la fondamentale étant désignée par "l'harmonique de rang 1".

Si la fondamentale est du type: a1 cos(2πft + φ1), la note complexe s'écrit alors sous la forme:

ancos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=)

En raison de la linéarité des lois de l'électromagnétisme, l'équation fondamentale du micro indique alors que la f.e.m. induite s'écrit:

e = 2k0Lf0 anA(nf)cos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞)

La note complexe captée est donc affectée:

NB: on remarque que si la série correspondant à la note génératrice converge, il en est de même de celle qui correspond à la note captée.

4 - Le "timbre" d'un micro:

Mais on peut déjà constater que le phénomène ici décrit, est caractéristique d'un "timbre" sonore, applicable à tous les sons engendrés par les vibrations de la corde, et non celle d'un simple filtre, comme le constitue l'impédance électrique du même micro.

En particulier, pour peu que la fenêtre ne change pas d'une corde à l'autre, ce timbre reste identique pour les six cordes de la guitare, ainsi que pour toutes les notes et harmoniques.

ll affecte également l'ensemble des transitoires de chaque notes, ainsi que les bruits éventuellement captés.

 Il est donc clairement établi ici que la sonorité ou "timbre" propre à un micro ne dépend uniquement que de deux paramètres topologiques:

  • sa position par rapport au chevalet

  • sa longueur de fenêtre de lecture.

NB: les esprits chagrins, nostalgiques de leur savoir dépassé, rétorqueront que le son d'un micro n'est que la conséquence de son impédance interne.

Que nenni, Messeigneurs!

La fenêtre d'un micro "dessine" sa sonorité, que les impédances "colorent", indépendamment de sa position. 

CQFD

5 - Largeur pratique de la fenêtre de lecture:

Du point de vue pratique, on peut déjà se référer aux schémas des lignes de champ déjà publiés sur ce site:

On peut s'attendre à:

D'où, peut-être, la sensation d'ouverture sonore accrue en passant des premiers aux derniers micros ?

Dans tous les cas, se pose me problème de la détermination pratique de la fenêtre de lecture réelle.

1 - Le cas des "humbuckings" est parfaitement déterminé par la forme des lignes de champ limitées dans l'espace.

Le cas du "single coil" pose un problème: celui de la dimension de sa fenêtre de lecture, qui semble être infinie, si on se réfère au seul micro.
On peut cependant remarquer qu'elle se limite forcément:

Et deux single coils peuvent être magnétiquement couplés. En ce cas, ils se comportent magnétiquement comme un seul single coil étendu.

2 - Dans le cas le plus fréquent du "truss rod" existant en matériau ferromagnétique, on peut donc dire que, pour un "single coil" seul, ou plusieurs couplés, elle s'étend du chevalet au "truss rod".

3 - En revanche, pour deux "single coils" magnétiquement découplés, la fenêtre de lecture de chacun est amputée de l'espace qui les sépare.

....A suivre.

En particulier, il sera intéressant de comparer le résultats pour un micro en positions dites "de Curbillon", "de Vendramini" et intermédiaires.

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Attendez-vous au pire

Je cite le dialogue épique, dans toute sa crudité édifiante:

"Hé, Monsieur le beau parleur, Monsieur le prétentieux, vous prétendez qu'un "humbucker" sonne comme un "single coil", que la nature des aimants, des pièces polaires, du fil, des bobines etc., n'a aucun rôle dans la sonorité d'un micro?
Vous vous payez ma tête, Monsieur l'emberlificoteur!"

"Que nenni, Monsieur le lecteur adoré, mais légitiment rétif!
Je dis seulement que,
dans le cas d'un micro à influence constante dans toute sa fenêtre de lecture, je sais calculer sa tension de sortie et son allure générale en fonction de la fréquence.
Mais c'est une approche simplifiée.
Dans le
cas le plus complexe d'un micro réel, il me suffirait de mesurer l'influence d'une corde point par point, pour en faire de même".

"Et je dis également que la conclusion en sera identique, les différences de construction du circuit magnétique (aimants et pièces polaire), ainsi que les variantes dans les bobines, entrant dans la notion de rendement mesuré point par point". 

Fin de citation

Quant à l'impédance électrique, son rôle sera confondu avec celui de l'électronique embarquée, rôle donc "de coloration secondaire". Enfin, seuls les différents "bruits" non provenant des cordes, tels ceux qui proviendraient des mouvements de spires plus ou moins jointives, de mouvements ou de chocs sur le micro, ne sont pas concernés par cet étude, mais plutôt par celle de l'impédances interne du micro.

Attendez-vous donc au pire.

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Coefficient linéique d'influence ponctuelle d'une corde et sa mesure.

Rappels théoriques

Chronologiquement, la notion de coefficient linéique ponctuel d'influence d'une corde a été introduite empiriquement, à la page de définition de la fenêtre de lecture, afin de préciser la définition ladite fenêtre.

Puis, l'existence physique de ce coefficient a été justifiée, en considération de la notion générale de réluctance.

Enfin, une hypothèse a été faite sur sa valeur, et les moyens de le mesurer.

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Mesure pratique de l'influence

Compte tenu des réflexions précédentes, je propose d'identifier le coefficient ponctuel (ou linéique) k d'une corde à:

/µ0)FBy(x) = de/vdxk(x)

Dans ces conditions, pour une corde homogène (donc, à µ et F constants), la valeur de k(x) se confond avec celle de By(x), à un facteur constant multiplicatif k près, ne dépendant que de la forme de la section, soit:

k(x) = kBy(x)

avec

k = constante = (µ/µ0)F

En ce cas, on peut dire que la mesure de k(x) se résumerait à celle de By(x) , à un facteur multiplicatif d'amplification près.

Alors, pour peu que l'amplitude de vibration de la corde soit connu, on obtiendrait une valeur indirecte de la mesure de k(x), voire de By(x), en se référant à celle de la f.e.m. totale, et à l'équation fondamentale du micro.

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Poil à gratter

En principe, ici se terminerait la théorie complète du micro, qui reste à confirmer par les mesures du coefficient de pondération A(f), en fonction de la fréquence.

Cependant, on peut utilement explorer quelques exemples et explorer différents hypothèses alternatives.

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Influence de l'emplacement du micro

Etude (en cours de révisions ) de 4 positions remarquables

(Merci au site de Patrice Rabiller pour son efficace traceur de courbes)

Configuration commune

Trois positions de micro fort usitées méritent une étude, ainsi qu'une position rarement utilisée.

Pour raison de simplicité, ces quatre cas seront restreints à une corde de Mi aigu, avec un diapason assez usuel de 64 cm, pour un même micro de largeur de fenêtre supposée égale à 4 cm.

En fonction des paramètres définis à la page "fenêtre de lecture d'un micro", la pondération caractéristique A(f), du micro situé à la distance moyenne du chevalet, vaut:

A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0)

Mais, ici toujours avec: f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 4/2 = 2 cm et f2 = Lf0/2X = 5274 Hz

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En pratique - Practical

1 - Position pré-Curbillon:

Si la touche et suffisamment courte, le micro peut effectivement être placé à une distance d du chevalet, supérieures à L/4, ce qui n'est pas toujours réalisable.

On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais de plus d>L/4=16 cm , soit:

f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = L/4 = 16 cm , f2 5274 Hz et f1 < 659,26 Hz

En fonction de la construction de la touche, il reste généralement peu de place pour un tel micro.

Nous supposerons donc d > 16 cm, mais peu différent de 16 cm.

Par exemple d = 18 cm. En ce cas, f1 = Lf0/2d = 586 Hz et,

A = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin(πf/f1)sin(πf/f2) = sin(5,3611 10-3 f)sin(5,95675 10-4 f)

Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:

Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f

Grossièrement dit, la variation de tension de sortie est sinusoïdale, de fréquence f1 = Lf0/2d, modulée par une sinusoïde de fréquence f2 = Lf0/2X.

Par rapport à la courbe suivante (position de Curbillon), on voit que le spectre est relativement régulier, mais légèrement plus faible en intensités maximales.

2 - Position de Curbillon

On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais de plus d=L/4=16 cm , soit:

f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = L/4 = 16 cm , f2 = 5274 Hz et f1 = 659,26 Hz

et

e/emusical = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin(πf/f1)sin(πf/f2) = sin(4,765 10-3 f)sin(5,95675 10-4 f)

Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:

Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f

3 - Position intermédiaire

On a , comme convention générale, f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm et X = 2 cm et f2 = 5274 Hz, mais en plus on suppose arbitrairement d=L/8=8 cm , soit:

f1 = Lf0/2d = 4f0 = 1318.52 Hz

e/emusicale = sin(2,3125 10-3f)sin(5,95675 10-4 f)

Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:

Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f

La distribution des fréquences est ici fortement irrégulière, entraînant une sensation auditive de déséquilibre, par rapport à position de Curbillon, qui serait alors la position la plus "équilibrée".

 

4 -Position de Vendramini

Supposons que la distance d (entre axe du micro et chevalet) diminue, vers une position dite "bridge". Alors il existe une position privilégié  (d = X), où cette distance égale la demi largeur de fenêtre.

Dans cette position, f1 = f2 

Alors la tension de sortie est proportionnelle à:

 e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) = sin2(2πfd/Lf0) = sin2(2πfX/Lf0)

Dans le cas étudié ici, on a:

f0 = 329.63 Hz, L = 64 cm, X = 2 cm, d = 2 cm, et f11 = f2 = 329.63 x 64/2 = 10548 Hz

et

e/emusicale = sin(5,9675 10-4 f)2

Soit, la courbe de variation de la tension aux bornes du micro, en fonction de la fréquence:

 

Courbe de A = e/emusicale , en fonction de f

La f.e.m. se retrouve redressée, avec un effet maximal de distorsion.

De plus, si la distance d diminue encore, la fenêtre déborde au-delà du chevalet, où le micro n'est plus sensible qu'aux bruits transmis par les cordes.

Il semble donc, que, comme l'avait subodoré le luthier Vendramini, il existe une limite au à un rapprochement du micro vers le chevalet, au-delà de laquelle, le micro cesse de fonctionner utilement.

Cette limite, que je nomme limite de Vendramimi, semble coïncider avec le bord de la fenêtre magnétique du micro, qui ne devrait jamais dépasser le chevalet.

Enfin cette limite, évaluée au départ à 2 ou 3 centimètres, varierait, en fait, en fonction de la largeur de la fenêtre, c'est-à-dire du circuit magnétique utilisé pour construire le micro.

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Poil à gratter

Comme vous l'avez constaté, les exemples n'ont concerné qu'une variation de la distance d comptée à partir du chevalet, en laissant la fenêtre du micro constante.

Cela revient à déplacer le même micro.

Mais quel serait l'effet de l'élargissement de la fenêtre, par exemple par un changement du circuit magnétique, pour un micro fixé à un emplacement donné?

L'effet sur les courbes serait une dilatation de la courbe en vert, la courbe en rouge restant intact.

Auditivement, conformément à l'expérience, le son du micro s'en trouverait simplement "plus doux", "plus plein", si ces termes ont réellement un sens.

C'est ce qu'on constate, par exemple en passant d'un "single coil" à un double bobinage, d'un P90 à un Charlie Christian, etc.
Mais il faudrait également tenir compte des changements d'impédances, qui interfèrent avec la sonorité propre à la fenêtre.

On se retrouverait alors avec beaucoup trop de cas d'espèces qu'il faudrait traiter individuellement.

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Micro et "circuits RLC résonants"
(Merci à Helmuth E. W. Lemme, pour ses shémas bienvenus)

Circuits intéressés

I - Circuit interne au micro:

Dans la pratique, si un micro développe sa propre force électromotrice (ou f.e.m.), celle-ci agit sur un circuit interne, composé de:

Le schéma équivalent au micro seul est alors:


A gauche la tension d'entrée Ve (la fameuse f.e.m.). A droite, la tension de sortie Vs

Le micro est donc soumis à un filtre interne, dit filtre série RLC, du second ordre, et sa tension de sortie Vs est liée à la la tension d'entrée Ve (ou f.e.m.), suivant une courbe du genre (on éludera ici la démonstration, classique chez les électriciens - voir le pdf correspondant -, mais rébarbative pour un guitariste candide):

Courbe typique de variation de Vs/Ve en dB, en fonction de la fréquence,
analogue à celle de l'inverse de l'impédance (ou admittance) du micro.

Plus précisément, le rapport Vs/Ve, qui indique la valeur relative de la tension de sortie du micro:

  • démarre de la valeur 1 (soit 0 dB),

  • pour augmenter, à la fréquence f0 dite "fréquence de résonance", jusqu'à une valeur maximale dite "pic de résonance",

  • pour finalement diminuer constamment, en suivant une pente tendant vers 12 dB par octave.

Enfin, à la vue des pentes abruptes de la courbe, il est facile d'imaginer l'importance sur la sonorité générale du micro:

  • des valeurs de la fréquence de résonance,

  • du "pic" maximum de la courbe obtenu à la résonance,

  • de la largeur du pic de résonance.

On pourrait démontrer que la valeur de la fréquence de résonance f0 est telle que:

1/f0 = 2π(LC)1/2

La fréquence de résonance f0 diminue donc comme LC

La valeur de la résistance interne R, quant à elle, agit sur la valeur du pic de résonance et sur l'étalement de la courbe autour du pic.
Plus précisément, on pourrait démonter que:

  • à la fréquence de résonance f0, l'impédance interne du micro est uniquement résistive, et précisément égale à R

  • la hauteur du "pic" varie comme √LC /R,

  • et l'étalement de la courbe autour du "pic", croît avec L/R.

Et comme R correspond à une perte d'énergie par échauffement, il est logique de dire que: la résistance interne R agit comme un "amortissement" de la résonance.

II - Circuits externes:

Mais, pour aller plus loin, ce circuit de filtre interne au micro, est lui-même suivi d'un second filtre externe également dit "du second ordre", composé du câble de liaison et de sa capacité de fuite, raccordé sur l'impédance d'entée du préampli, suivant le schéma équivalent:

III - Autres circuits embarqués:

Nous avons oublié, pour simplification, les circuits annexes embarqués, souvent commandés par des potentiomètres, contacteurs, et "switches" divers, qui s'interposent couramment entre micro et jack de sortie.

On voit immédiatement que la capacité de fuite interne du micro est associée, au minimum, à une seconde capacité de fuite externe, qui joue donc également sur la fréquence de coupure et le "pic" de l'ensemble.

Les autres circuits embarqués ont donc une influence. Mais la multiplicité des cas possibles fait repousser leur analyse à une éventuelle future page.

On peut cependant citer des phénomènes avérés, mais peu ou mal connus:

Ces principes ont été souvent adoptés par les frères Jacobacci, dans leurs oeuvres les plus raffinées.

D'où la notion qui m'est chère de "guitare d'homme", plaisanterie destinée à promouvoir la guitare de jazz munie d'un seul micro, jouée avec ses deux potentiomètres ouvert à fond.

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Valeurs usuelles

La fréquence de résonance de la plupart des micros usuels combinés avec des câbles le liaison courants, tourne entre 2000 et 5000 Hz. C'est la plage où l'oreille humaine à la meilleure sensibilité. Une succincte corrélation subjective entre fréquences de résonance et sonorités indique que:

Bien entendu, le son dépend également de la hauteur du pic de résonance. Un pic élevé produit un son puissant et fortement personnalisé; un pic atténué, un son affaibli, particulièrement avec des "solide bodies" qui n'ont aucune caisse de résonance.
La hauteur du pic da la plupart des micros varie de 1 à 4.
Il dépend des matériaux magnétiques, du bobinage et des capots métalliques des micros (souvent ôtés, pour un obtention d'un "pic" plus élevé, mais ... plus de parasites, en contrepartie).

Toujours en oubliant l'influence des autres circuits embarqués (par commodité simplificatrice), la fréquence de résonance dépend à la fois de l'inductance L du micro (généralement compris entre 1 et 10 Henrys) et de la capacité de fuite totale C. C est la somme de la capacité de fuite du bobinage (environs 80-200 pF) et de celle du câble de liaison (environs 300-1000 pF).

Il est donc clair que le câble de liaison soit être choisi avec discernement.

Pour résumer, on peut dire que:

  • si le "son" propre à un micro est dessiné par sa fenêtre de lecture,

  • il est coloré par son circuit résonant interne et par les circuits résonants suivants.

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"Moteur" et "freins" du micro.

L'habitude des fainéants est d'expliquer la sonorité d'un micro, uniquement par la notion, plus ou moins bien digérée, de circuit résonant.

C'est oublier le rôle primordial de la "fenêtre de lecture", véritable moteur du micro, dont les circuits résonants ne sont que les freins sélectifs.

Cependant, il est utile en pratique d'étudier l'influence de l'association de plusieurs circuits résonants sur la sonorité finale, tant dans les montages "série" qu'en "dérivation", sans oublier le rôle des couplages magnétiques, trop souvent négligé dans les études superficielles.

Ces considérations sortent néanmoins du cadre de cette étude et sont raités à part, sur une page Web dédiée:

http://www.jpbourgeois.org/guitar/association.htm

Enfin, ne vous fiez en aucun cas aux schémas et valeurs fournis par les constructeurs de micro. Sauf exception, ce ne sont que des souhaits de leurs directeur de la communication (directeur de la pub, en lange courant). Malheureusement (ou heureusement?), le client ordinaire n'a que ses oreilles pour juger.

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Tentatives de modélisation du couple corde-micro

Hypothèses avortées

NB: en raison de l'absence de symbole correspondant sur mon éditeur, un vecteur est désigné par une barre supérieure. Ainsi, le vecteur induction magnétique B est désigné par B.

I - Première proposition, purement intuitive, mais ... très risquée:

En première approximation, le champ magnétique moteur engendré en un point par les aimants ne dépendrait que de la distance d qui sépare ce point du chevalet.

Pour contourner la difficulté de description de l'action de la corde sur le flux prévu par les lois de Faraday et Lentz, je propose de considérer 'un élément de corde dl animé de la vitesse v pourrait créer une f.e.m. élémentaire de, telle que:

de =| v^(dl ^ B(d))| (où ^ = produit  vectoriel)

Cette proposition logique donne , de plus, une formule homogène du point de vue des unités.

Il resterait à modéliser une répartition vraisemblable de B(d) et à vérifier la cohérence du résultat théorique obtenu avec ce qui est réellement perçu par l'oreille.

Malheureusement, les hypothèses restent trop risquées, voire simplettes.

II - Deuxième proposition, plus fondée.

II 1 - Hypothèses "naturelles"

Le mouvement le plus général d'une corde vibrante peut se faire dans n'importe quel plan contenant la corde au repos. Mais comme un tel mouvement peut être décrit par la recomposition de deux mouvements plans distincts, il est légitime de ne considérer que deux plans de référence distincts dans notre approche.
Par exemple, on se bornera ici à un mouvement élémentaire de la corde qualifié de "axial" et limité à un plan perpendiculaire à la table de la guitare.
Ultérieurement, une étude duale pourra être réalisée pour un autre mouvement élémentaire qualifiés de "latéral", limité à un plan parallèle à la table, et le mouvement le plus général de la corde sera alors une combinaison des deux mouvements élémentaires. Et pour conclure, la règle d'additivité des champs permettra de décrire la règle s'appliquant aux variations de flux dans le cas général.

Sans restriction sur les résultats finaux, nous pouvons en conséquence supposer d'abord que tout se passe dans un seul plan, le plan de la corde au repos et perpendiculaire à la table de la guitare et dit "plan axial". Dans ces conditions, les hypothèses sont les suivantes

1 En un point, pour de petits déplacements autour de sa position d'équilibre, et en première approximation, la corde baigne dans un champ magnétique moteur B(d) ne dépendant que de la distance d avec le chevalet.

2 Le mouvement de la corde est supposé limité au même plan, et la vitesse v de déplacement d'un point de corde est perpendiculaire à la corde.

3 On peut supposer que l'aimantation en ce point de la corde (composée d'un matériau ferromagnétique supposé homogène et isotrope)  ne se produit que transversalement (en raison de la forme cylindrique de la corde), et qu'elle s'annule si le champ devient parallèle à l'axe de la corde.

4 Un élément de corde dl est constitué d'une "tranche" orientée, d'épaisseur dl, de diamètre D, tranche susceptible de porter des charges magnétiques (fictives) situées quasi ponctuellement et diamétralement opposées.

II 2 - Hypothèses "osées"

1 L'aimantation I induite est proportionnelle à la composante tangentielle Bt du champ, par rapport au plan de la tranche.

2 Elle correspond à des masses magnétiques m et -m, réparties aux extrémités d'une section (en rouge sur le schéma) d'épaisseur e et alignée sur I.

II 3 - Développement du raisonnement

On est ramené au cas simple d'un aimant rectiligne, long et relativement plat, dont l'épaisseur e est souhaitée s'éliminer da la suite des calculs (à vérifier).

Cette "section" (en rouge) de "tranche" de corde élémentaire peut être assimilée à un dipôle magnétique qui produirait un champ magnétique perturbateur variable élémentaire, dont l'intégration le long de la corde représente le champ dont la variation du flux va induire la f.e.m. induite dans les bobinages du micro.

 

L'aimantation I du dipôle dépend de B(d) , et de la susceptibilité magnétique du matériau utilisé. Et  le champ perturbateur élémentaire est facile à évaluer en fonction de v, en considérant qu'il agit à grande distance, par rapport au diamètre  D de la corde, et par rapport aux faibles déplacements supposés de la corde.

Dans cette évaluation, les pièces polaires ou aimants permanents traversant le bobinage sont ignorés.
Mais leur rôle effectif sur le champ perturbateur, est la concentration des lignes de champ, sans action sur le flux du même champ qui est conservatif (div
B = 0).

Restera à réaliser l'intégration en fonction de d, et à l'interpréter.

III Troisième hypothèse, plus pratique, et fondée sur l'analyse dimensionnelle.

Devant la difficulté d'expliciter les modélisations évoquées ci-dessus, j'ai songé à utiliser une méthode éprouvée dans différents domaines scientifiques tels que la mécanique des fluides, ou un coefficient, difficile à évaluer théoriquement, est inspiré par la seule analyse dimensionnelle, et confirmé par ses utilisations pratiques.

Sachant que la vitesse de variation élémentaire du flux d'induction dΦ créé par un élément dx de la corde et parcourant le système des bobines actives d'un micro doit, selon toute vraisemblance, être proportionnel:

Alors, si µ0 est la perméabilité du vide, la loi de Lenz, impose alors que la f.e.m. de , engendrée dans le circuit du micro par l'élément de corde dx, soit de la forme:

de = -(dΦ/dt)dx = -g(x)(µ/µ0)B(x)v(x).dx

de = -h(x)v(x)dx (±, en fonction des conventions utilisées)

h(x) = g(x)(µ/µ0)B(x)

D'après la loi de Lenz, on voit immédiatement que:

  1. de = -h(x)v(x)dx

  2. h(x) = g(x)(µ/µ0)B(x)

  3. g(x) est un nombre sans dimension.

IV Quatrième proposition, fondée sur la fertile notion de réluctance:

En raison des difficultés de solution mathématique des autres propositions, la bonne idée est venue de la notion de réluctance, qui permet:

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En pratique

Dans l'étude menée, on suppose acquis que la force électromotrice e produite dans un micro par un élément de corde dx est telle que:

de = -k(x)v(x)dx

k(x) est un coefficient (de dimension weber/mètre carré, soit celle d'une induction) que je baptise: "coefficient linéique d'influence ponctuel" de la corde sur le micro au point considéré, ou simplement "coefficient d'influence" de la corde.

Le challenge est de caractériser les différences de sonorités obtenues, par exemple, dans des cas bien différenciés, tels que:

 

, mais également d'étendre une telle étude au cas exceptionnel du micro "Charlie Christian" où l'action du champ magnétique s'étend pratiquement à l'ensemble de la corde entre touche et chevalet.

De plus, il faudra aborder, au travers de cette optique, l'évolution sonore liée au déplacement d'un micro.

A suivre!


Celles auxquelles vous avez échappé, et enfin, la bonne!

Variation du point d'ébranlement,
(ou point d'attaque, ou point de pincement)
de la corde

Principe de dualité-équivalence avec le déplacement du micro.

Définition du "point" de pincement" de la corde

 

1 - Point d'ébranlement, noeud de vibration, et disparition d'harmoniques:

Etant donnée l'influence de la largeur 2X de la fenêtre de lecture du micro, ainsi que de la distance d chevalet-micro sur la sonorité générale obtenue, on peut également tenter d'étudier l'influence du point d'ébranlement de la corde (au doigt, médiator, e-bow ou autre médium), dont on s'attend qu'elle ait une forte analogie et intrication avec l'influence de la distance d.

L'approche classique consiste à considérer que le point d'ébranlement est un point à partir duquel la corde est:

  • d'abord silencieusement déformée,

  • puis lâchée avec une vitesse nulle à l'origine du son produit, au temps t=0.

C'est évidemment une simplification, mas fort utile au départ.

Dans ce cas, comme indiqué dans l'étude sommaire de la corde vibrante théorique, on peut démontrer que certains harmoniques restent absents, pour assurer la condition de vitesse nulle imposée au temps t=0.

Si p est l'abscisse du point d'ébranlement, restent absents les harmoniques qui auraient un noeud au point d'abscisse p.

Exemple: vibrations d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au 1/3 de sa longueur (rappel de la page sur la corde vibrante théorique):

(after Dr. Dan Russell, Kettering University):
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/string/Fixed.html

Lorsqu'une telle corde est mise en vibration par un ébranlement (au travers d'un médiator, doigt ou autre moyen), elle vibrera simultanément selon ses nombreuses fréquences de résonance naturelles.

La façon dont la détermination exacte de ces résonances naturelles façonne la vibration finale de la corde, dépend de la forme de son déplacement initial.

Le "dessin animé" sur la gauche montre la vibration d'une corde à deux appuis fixes, ébranlée au tiers de sa longueur. Vous pouvez observer que la vibration montre deux ondes, l'une progressant de gauche à droite, l'autre dans le sens inverse. Le temps d'un voyage complet est égal à une période de la fondamentale.

 

 

Le théorème de Fourier indique que toute fonction périodique de t, de fréquence f (dite fréquence fondamentale), de moyenne nulle, peut être reconstruite, d'une seule façon, à partir d'une somme de fonctions (dites harmoniques de la fondamentale), de la forme sin(nft) et cos(nft), dotées des amplitudes appropriées (sous certaines conditions de régularité).

Ce théorème est donc une sorte de réciproque de mon approche de la corde théorique, qu'il justifierait "a posteriori".

La figure de gauche montre l'amplitude et la phase des six premiers modes naturels de vibration qui s'additionnent pour reconstituer la position initiale de la corde précédente, ébranlée au tiers de sa longueur (la forme exacte réclamerait TOUTES les valeurs de n, jusqu'à l'infini).

[code des couleurs: somme, n=1, n=2, n=3,n=4, n=5, n=6 ]

Vous pouvez remarquer que les modes correspondants à n=3 et n=6 sont absents. Ca résulte du fait que les modes vibratoires possédant un noeud au point d'ébranlement ne seront pas sollicités. Il en sera ainsi pour tous les modes multiples de 3 (3f et ses harmoniques), pour satisfaire les conditions aux limites.

On en déduit que la coloration particulière du son due au choix du point d'ébranlement est précisément caractérisée par l'absence de tels harmoniques susceptibles d'avoir un noeud de vibration en ce point

En effet, dans le cas d'une note de fréquence fondamentale f , l'amplitude y peut s'écrire:

y = a sin(2π ft + φ) sin(2π xf/Lf0)

et la vitesse v de la corde au point x est (voir window.htm):

v = 2π fa cos(2π ft +φ) sin(2π xf/Lf0)

x est la distance du point courant avec le chevalet

L est la longueur de corde à vide

f0 est la fréquence fondamentale correspondant à la corde à vide

Les noeuds de vibration des éventuels harmoniques sont tels de v=0 quel que soit le temps t.

Ils se produisent donc à une distance p du chevalet (point d'ébranlement p,indépendant du temps) telle que sin(2π pf/Lf0) = 0, soit 2πpf/Lf0 = nπ, et finalement:

p = nLf0/2f , où n est un entier positif quelconque

On voit qu'alors le déplacement y(p) correspondant est identiquement nul.

NB: le cas n=0 est envisageable en théorie, le chevalet étant LE seul noeud obligé de toutes les vibrations

2 - Démonstration et conclusion:

En ce cas, il semble étrange que toutes les fréquences f = nLf0/2p disparaissent, puiqu'elles correspondent au point le plus sollicité au temps initial t=0.

Pourtant, dès 1868, Helmohltz avait démontré la pertinence de ce paradoxe apparent.

Cependant nous admettrons ce pur fait mathématique (en raisonnant par réduction à l'absurde), en remarquant que, physiquement, le pincement en un point p entraîne à la fois pour de telles fréquences:

  • un noeud de vibration en ce point, d'après la démonstration précédente,

  • ET un mouvement du même point au voisinage de la condition initiale t=0.

La conséquence logique est que de telles fréquences et leurs harmoniques ne peuvent se développer physiquement et ... sont donc totalement absents.

Conclusion:

Pour une corde pincée à la distance p du chevalet, disparaissent toutes les fréquences telles que:

  • f = nLf0/2p, c'est à dire l'ensemble des harmoniques de la fréqence Lf0/2p,

  • soient encore, l'ensemble des fréquences susceptibles de présenter un noeud de vibration au point p.

Cette condition étant la seule imposée par le lieu d'ébranlement (ou de pincement, ou encore d'attaque) de la corde, constitue donc LA caractéristique de l'influence de ce lieu sur la sonorité.

 

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Principe de dualité

 

En introduisant la variable auxiliaire d-p, on peut écrire d= (d-p) + p et alors:

sin(2πfd/Lf0) = sin[2πf(d-p)/Lf0]cos(2πfp/Lf0) + cos[2πf(d-p)/Lf0]sin(2πfp/Lf0)

Mais par définition de p, on a toujours sin(2πfp/Lf0) = sin(2nπ) =0 et cos(2πfp/Lf0) = cos(2nπ) = 1, soit:

sin(2πfp/Lf0) = sin[2πf(d-p)/Lf0]

Revenons à l'équation fondamentale du micro.

Dans les conditions précédentes, le coefficient de pondération caractéristique du micro devient alors:

A(f) = e/emusicale = sin[2πf(d-p)/Lf0]sin(2πfX/Lf0)

Le coefficient de pondération peut donc s'exprimer, non seulement géométriquement par rapport à X et d, mais plus précisément par rapport à la distance (d-p) qui sépare point de pincement et micro.

Mais que se passerait-il si le coup de médiator (ou autre médium) était donné "pile" au-dessus du centre du micro?

Et bien, tout simplement (d-p) = 0 et :

A(f) = 0 !!!

La force électromotrice créée par le micro serait donc annulée?

Heureusement, ni la corde, ni le micro ne sont parfaits. Et, entre autres, le centre théorique du micro est une notion bien floue dans la réalité.

On ne peut donc seulement dire, qu'en raison de la continuité des phénomènes physiques considérés:

le son est minimisé, si l'attaque de la corde est faite au voisinage du centre du micro.

Enfin, on peut conclure en remarquant que tout raisonnement basé sur la variation de sonorité induite par un déplacement du micro, est instantanément transposables à celui qui concernerait un déplacement du point d'attaque de la corde, puisque qu'exprimables tous deux par la valeur commune de (d-p).

Il s'agit donc de deux phénomènes (d'origine "géométrique") qui peuvent être qualifiés de "duaux", ou plus grossièrement "équivalents" en langage courant.

On prendra seulement garde que, si d est par définition positif, (d-p) peut éventuellement devenir négatif.

En ce cas, un raisonnement trop hâtif pourrait amener à des interprétations erronées des transpositions induites par un "principe de dualité" mal appliquée.

 

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Effets du rapprochement ou éloignement des cordes et du micro.

(Voir également les autres pages sur les micros)

Rappels

 

  • D'après la théorie de la fenêtre de lecture, pour une note pure de fréquence f, si f0 est la fréquence de la note à vide, E l'élongation maximale de la note pure considérée, on a:

y = E sin(2π xf/Lf0) (la longueur d'onde étant alors l = 2Lf0/f)

En fonction du temps t, l'élongation E(t)est elle-même une fonction sinusoïdale:

E = a sin(2π ft + φ)

Au total, on a, avec l'amplitude a et la phase φ de la note (voir la page concernant la corde théorique):

y = a sin(2π ft + φ) sin(2π xf/Lf0)

On en déduit la vitesse v à l'abscisse x:

v = 2π fa cos(2π ft +φ) sin(2π xf/Lf0)

e = (Φ0/ß) v

  • ß est la distance corde/micro, au repos

  • Φ0 est le flux traversant la surface S , corde au repos

  • v = dy/dt est la vitesse de la corde au temps t

Dans le cas particulier d'une corde vibrante, chaque élément de corde dx intercepte sa contribution dΦ0(x) au flux total, et engendre la f.e.m. de, telle que:

de = (v/ß) dΦ0(x)

et

e = ∫ (v/ß) dΦ0 (somme de x=d-X à x=d+X)  , avec ∫ , symbole d'intégration mathématique

  • Finalement:

Dans tous les cas de variation possibles de Φ0(x) dans la fenêtre de lecture, la force électromotrice totale induite dans le micro reste inversement proportionnelle à l'éloignement ß corde-micro au repos (donc proportionnel au rapprochement 1/ß).

 

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En pratique

 

Le fait bien connu que la sensibilité du micro augmente avec le rapprochement des cordes est donc théoriquement confirmé, comme on doit l'attendre de toute théorie réaliste.

Elle pourrait même tendre vers l'infini, si la distance ß tend vers 0, mais évidemment, les cordes seraient alors immobilisés par le micro, sur lequel elles se trouveraient alors collées.

En pratique, il faut éviter que les cordes puissent toucher le micro.

La règle pratique est donc de descendre les cordes au maximum compatible avec l'attaque des cordes impulsée par le musicien.

Elle n'est donc limitée que par la "vigueur" de son jeu.

 

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Poil à gratter: quid du sustain?

 

Vous: "Mais, Monsieur le cuistre, "tout le monde" sait que les cordes trop basses sont freinées par les aimants, et que le sacro-saint sustain en pâti".

Moi: oui. "Tout le monde", le dit. Et même, tout récemment, un conférencier (dont je tairai charitablement le nom) l'a malencontreusement affirmé lors d'une réunion au Musée des musiques populaires de Montluçon.

"Tout le monde" le dit, mais personne ne l'a réellement vérifié expérimentalement

En effet, d'où viendrait la perte de sustain? Mécaniquement parlant, il faudrait une perte d'énergie mécanique, genre "frottement" (proportionnel à une vitesse de déplacement) et dissipateur de chaleur.

Comme les lois de l'électromagnétisme sont parfaitement réversibles, elles ne donnent lieu à aucun phénomène de type "frottement".

On ne peut chercher un tel phénomène non réversible que dans une dissipation thermique du genre:

  • "effet joule" dans les circuits électriques,

  • ou "perte par hystérésis" dans les cordes, les aimants ou pièces polaires.

Mais en raison de la forte impédance des circuits électriques utilisés, par rapport à la faible f.e.m. induite, les courants produits (donc les pertes par effet joule) sont négligeables.

Il en est de même des éventuelles pertes par hystérésis crées par des variations d'induction magnétique insignifiantes.

Enfin, the last but not the least, j'aurais plutôt tendance à percevoir une augmentation du sustain subjectif avec le rapprochement des cordes du micro.

A la fois pour des raisons d'expériences subjectives et d'arguments théoriques, tant qu'une série de mesures bien conduite ne m'aura pas persuadé du contraire, je crois fermement que:

Pourvu qu'elles ne le touchent pas, aucun rapprochement des cordes du micro ne peut freiner perceptiblement leur mouvement et ainsi diminuer le sustain apparent.

Tout au plus pourrait-on admettre qu'un rapprochement serait faiblement susceptible (imperceptiblement d'après mon expérience) d'augmenter la tension des cordes, voire de créer une éventuelle distorsion par brisure de la symétrie de leur mouvement, mais en aucun cas de sensiblement les freiner.

Aux yeux de la populace scribouillarde et moutonnière, je suis coupable de blasphème et menacé de lapidation sur la plage du Pays des Lanternes de Panurge.

Que les physiciens expérimentateurs me jettent la première pierre, ... s'il y arrivent.

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Conclusions générales et prospective

Rappels théoriques

 

Limitée à son lieu naturel de naissance (la corde), une note complexe génératrice, de fréquence fondamentale f, supposée infiniment stable dans le temps, est accompagnée de ses harmoniques de fréquences nf (n entier positif) affectés de la phase φn, la fondamentale étant désignée par "l'harmonique de rang 1".

Si la fondamentale est du type: a1 cos(2πft + φ1), la note complexe s'écrit alors sous la forme:

ancos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞)

En raison de la linéarité des lois de l'électromagnétisme, l'équation fondamentale du micro indique alors que la f.e.m. induite s'écrit:

e = 2k0Lf0anA(nf)cos(2πnft + φn) (somme de n=1 à n=∞)

La note complexe captée est donc affectée:

  • d'un coefficient d'amplification global égal à 2k0Lf0 , identique à celui d'une note pure,

  • d'une altération de l'intensité de chaque harmonique, qui passe de an à anA(nf), où A(nf) est la fonction de pondération caractéristique de l'harmonique de rang n (ce qui justifie le terme de "pondération caractèristique"),

  • d'une phase de chaque harmonique φn, inchangée.

NB: on remarque que si la série correspondant à la note génératrice converge, il en est de même de celle qui correspond à la note captée. 

Dès lors, on peut légitimement considérer que le signe du micro, tel qu'imprimé sur toute note de fréquence f dans "l'espace des sonorités", est constitué de la suite des coefficients de pondération A(nf) et, par extension, que sa signature complète est synthétisée par la fonction de pondération A(f), caractéristique du micro (et de son emplacement).

 

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Identité de la guitare électrique

 

Vue sous l'angle des asservissements, la fonction de pondération caractéristique A(f) = e/emusicale = sin(2πfd/Lf0)sin(2πfX/Lf0) est (au coefficient constant 2k0Lf0 près) la fonction de transfert qui associe la vitesse instantanée de la corde à la f.e.m. produite par le micro.

Vue sous l'angle de la théorie de l'information, A(f) introduit une nouvelle information à toute note complexe engendrée par la corde, non contenue dans ladite note, donc enrichissant l'information brute.

J'émets l'hypothèse que cette information supplémentaire, caractéristique du micro, fait partie des éléments de l'organologie de la guitare électrique qui ont favorisé son succès.

Qui plus est, je pense que, bien plus que la signature d'un micro particulier, la notion de fonction de pondération caractéristique, ou de "chant" du micro, s'étend à la définition même de la nature de la guitare électrique.

Peut-être peut-on considérer que la notion de fonction de pondération touche à l'identité propre de la guitare électrique???

 

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Poil à gratter et prospective

 

Ca vous grattouille ou ça vous chatouille?

  • Les paramètres du micro, bien connus du guitariste expérimenté, sont donc traduits par cette théorie formelle unificatrice, qui montre l'unicité de l'origine de trois réalités factuelles acoustiques, incontournables et intimement intriqués, à savoir, les influences sur la sonorité de:

  1. La largeur 2X de fenêtre de lecture

  2. La distance d micro/chevalet

  3. La distance (d-p) entre "point-de-pincement" et micro.

  • On peut doit également acter que cette théorie confirme une quatrième réalité, plus banale: la croissance de sensiblilité du micro proportionnellement avec le rapprochement des cordes.

  • Sans parler du cinquième fait expérimental bien connu du musicien: l'équivalence duale entre "déplacement du micro" et "déplacement du point d'attaque", qui vient "quasi naïvement" prendre sa place à la seule vue des équations.

Quitte à fâcher les esprits chagrins, avant toute définition d'un protocole de mesures à venir, uniquement destiné à convaincre les incrédules, je sais déjà que ma modélisation est la bonne.

Mais on prendra bien garde, dans le cadre de mesures précises à venir, que le micro ici formellement défini, tout comme la corde vibrante évoquée, ne sont que des éléments théoriques, des représentants approchés, de simples métaphores de leur cousins réels.

Reste cependant un point d'ombre, celui de la définition précise de la largeur de fenêtre 2X.

En effet, la variation réelle du coefficient d'influence k(x) ne passe pas de façon discontinue, de 0 à une valeur appréciable.
On peut donc se poser la question de la définition théorique précise de la largeur 2
X.

Grattons où ça nous chatouille.

Enfin, la mise au point d'un protocole de mesures se heurte à une difficulté particulière: celle de la détermination précise d'une note pure engendrée par la corde.

La méthode classiquement utilisée consiste à utiliser une note étalon, produite par une "machine à pincer", sensée reproduire une attaque de médiator reproductible à loisir et fournir un ébranlement de la corde, connu et stable dans le temps.

Outre la difficulté de mettre au point une telle machine, reste l'indétermination des valeurs des vitesses de corde qu'elle engendre.

J'ai donc songé à deux façons étalons de forcer le mouvement des cordes, de façon reproductible:

  1. l'action d'un second micro, mais moteur, alimenté par un "générateur basse fréquence" par un courant de fréquence connue, utilisant la fonction "haut-parleur", réciproque de la fonction capteur du micro,

  2. l'utilisation d'un système genre "ebow", capable d'entretenir indéfiniment une note frettée, de fréquence fondamentale connue, fixée par la frette utilisée.

Dans les deux cas, il semble indispensable de fournir un mode de fonctionnement précis des "moteurs" choisis pour la corde.

Restera à mesurer l'intensité de la note jouée par la corde, qui pourrait être quantifiée par un capteur optique à déterminer.

On n'est pas encore couchés!

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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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