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8 - Tentatives de modélisation du couple corde-micro

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Théorie - Theory

 

NB: en raison de l'absence de symbole correspondant sur mon éditeur, un vecteur est désigné par une barre supérieure. Ainsi, le vecteur induction magnétique B est désigné par B.

I - Première proposition, purement intuitive, mais ... très risquée:

En première approximation, le champ magnétique moteur engendré en un point par les aimants ne dépendrait que de la distance d qui sépare ce point du chevalet.

Pour contourner la difficulté de description de l'action de la corde sur le flux prévu par les lois de Faraday et Lentz, je propose de considérer 'un élément de corde dl animé de la vitesse v pourrait créer une f.e.m. élémentaire de, telle que:

de =| v^(dl ^ B(d)) |   (où ^ = produit  vectoriel)

Cette proposition logique donne , de plus, une formule homogène du point de vue des unités.

Il resterait à modéliser une répartition vraisemblable de B(d) et à vérifier la cohérence du résultat théorique obtenu avec ce qui est réellement perçu par l'oreille.

Malheureusement, les hypothèses restent trop risquées, voire simplettes.

II - Deuxième proposition, plus fondée.

II 1 - Hypothèses "naturelles"

Le mouvement le plus général d'une corde vibrante peut se faire dans n'importe quel plan contenant la corde au repos. Mais comme un tel mouvement peut être décrit par la recomposition de deux mouvements plans distincts, il est légitime de ne considérer que deux plans de référence distincts dans notre approche.
Par exemple, on se bornera ici à un mouvement élémentaire de la corde qualifié de "axial" et limité à un plan perpendiculaire à la table de la guitare.
Ultérieurement, une étude duale pourra être réalisée pour un autre mouvement élémentaire qualifiés de "latéral", limité à un plan parallèle à la table, et le mouvement le plus général de la corde sera alors une combinaison des deux mouvements élémentaires. Et pour conclure, la règle d'additivité des champs permettra de décrire la règle s'appliquant aux variations de flux dans le cas général.

Sans restriction sur les résultats finaux, nous pouvons en conséquence supposer d'abord que tout se passe dans un seul plan, le plan de la corde au repos et perpendiculaire à la table de la guitare et dit "plan axial". Dans ces conditions, les hypothèses sont les suivantes

1 En un point, pour de petits déplacements autour de sa position d'équilibre, et en première approximation, la corde baigne dans un champ magnétique moteur B(d) ne dépendant que de la distance d avec le chevalet.

2 Le mouvement de la corde est supposé limité au même plan, et la vitesse v de déplacement d'un point de corde est perpendiculaire à la corde.

3 On peut supposer que l'aimantation en ce point de la corde (composée d'un matériau ferromagnétique supposé homogène et isotrope)  ne se produit que transversalement (en raison de la forme cylindrique de la corde), et qu'elle s'annule si le champ devient parallèle à l'axe de la corde.

4 Un élément de corde dl est constitué d'une "tranche" orientée, d'épaisseur dl, de diamètre D, tranche susceptible de porter des charges magnétiques (fictives) situées quasi ponctuellement et diamétralement opposées.

II 2 - Hypothèses "osées"

1 L'aimantation I induite est proportionnelle à la composante tangentielle Bt du champ, par rapport au plan de la tranche.

2 Elle correspond à des masses magnétiques m et -m, réparties aux extrémités d'une section (en rouge sur le schéma) d'épaisseur e et alignée sur I.

II 3 - Développement du raisonnement

On est ramené au cas simple d'un aimant rectiligne, long et relativement plat, dont l'épaisseur e est souhaitée s'éliminer dans la suite des calculs (à vérifier).

Cette "section" (en rouge) de "tranche" de corde élémentaire peut être assimilée à un doublet magnétique qui produirait un champ magnétique perturbateur variable élémentaire, dont l'intégration le long de la corde représente le champ dont la variation du flux va induire la f.e.m. induite dans les bobinages du micro.

 

L'aimantation I du dipôle dépend de B(d) , et de la susceptibilité magnétique du matériau utilisé. Et  le champ perturbateur élémentaire est facile à évaluer en fonction de v, en considérant qu'il agit à grande distance, par rapport au diamètre  D de la corde, et par rapport aux faibles déplacements supposés de la corde.

Dans cette évaluation, les pièces polaires ou aimants permanents traversant le bobinage sont ignorés.
Mais leur rôle effectif sur le champ perturbateur, est la concentration des lignes de champ, sans action sur le flux du même champ qui est conservatif (div B = 0).

Restera à réaliser l'intégration en fonction de d, et à l'interpréter.

III - Troisième hypothèse, plus pratique, et fondée sur l'analyse dimensionnelle.

Devant la difficulté d'expliciter les modélisations évoquées ci-dessus, j'ai songé à utiliser une méthode éprouvée dans différents domaines scientifiques tels que la mécanique des fluides, ou un coefficient, difficile à évaluer théoriquement, est inspiré par la seule analyse dimensionnelle, et confirmé par ses utilisations pratiques.

Sachant que la vitesse de variation élémentaire du flux d'induction dΦ créé par un élément dx de la corde et parcourant le système des bobines actives d'un micro doit, selon toute vraisemblance, être proportionnel:

  • au flux d'induction B(x) qui aimante l'élément de corde ,
  • à la perméabilité magnétique µ de la corde (supposée constante)
  • à la vitesse scalaire v(x) de la corde,
  • enfin, hypothèse beaucoup plus osée, à un coefficient g(x), purement géométrique et sans dimension, ne liant que:
    - la surface active des bobines (celle qui traversée par la flux)
    - et le point x

Alors, si µ0 est la perméabilité du vide, la loi de Lenz, impose alors que la f.e.m. de , engendrée dans le circuit du micro par l'élément de corde dx, soit de la forme:

de = -(dΦ/dt)dx = -g(x)(µ/µ0)B(x)v(x).dx

de = -h(x)v(x)dx (±, en fonction des conventions utilisées)

h(x) = g(x)(µ/µ0)B(x)

D'après la loi de Lenz, on voit immédiatement que:

  1. de = -h(x)v(x)dx
  2. h(x) = g(x)(µ/µ0)B(x)
  3. g(x) est un nombre sans dimension.

IV Quatrième proposition, fondée sur la fertile notion de réluctance:

En raison des difficultés de solution mathématique des autres propositions, la bonne idée est venue de la notion de réluctance, qui permet:

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En pratique - Facts

 

Dans l'étude menée, on suppose acquis que la force électromotrice e produite dans un micro par un élément de corde dx est telle que:

de = -k(x)v(x)dx

k(x) est un coefficient (de dimension weber/mètre carré, soit celle d'une induction) que je baptise: "coefficient linéique d'influence ponctuel" de la corde sur le micro au point considéré, ou simplement "coefficient d'influence" de la corde.

Le challenge est de caractériser les différences de sonorités obtenues, par exemple, dans des cas bien différenciés, tels que:

 

, mais également d'étendre une telle étude au cas exceptionnel du micro "Charlie Christian" où l'action du champ magnétique s'étend pratiquement à l'ensemble de la corde entre touche et chevalet.

De plus, il faudra aborder, au travers de cette optique, l'évolution sonore liée au déplacement d'un micro.

A suivre!


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Poil à gratter - Itching powder

 
  • Etude du LAM... entable!

    A ma connaissance, seuls des étudiants du LAM (Paris Jussieu) ont tenté de modéliser l'action des cordes sur les micros, au cours d'un stage dont on peut lire le rapport ---> ici.

    L'étude a omis de citer les sources des schémas, souvent pillés sur mon site, comme j'en ai fait la remarque au très compétent Charles Besnainou, qui encadrait le stage.

    Leur modélisation s'est faite à grand' peine, avec appel au lourd logiciel "Math Lab", et pour des résultats bien faibles, voire inutilisables.

    Il me semble que l'erreur de base a été de considérer la corde comme un simple dipôle magnétique, alors que la réalité aurait réclamé la modélisation d'une distribution continue de dipôles élémentaires, tâche malheureusement titanesque sans les simplifications imposées ici.

    C'est oublier un peu vite que la corde agit au travers d'une portion non négligeable de sa longueur, et non pas ponctuellement.

    Enfin cette étude a eu le malheur de mettre en relief, de façon exagérée, l'impédance des circuits électriques des micros, en s'appuyant, de plus, sur ... une conception erronée des paramètres réellement influents de la-dite impédance.

  • Les manceaux du LUAM

    On peut également citer la déplorable contribution de "Professeurs des Universités (sic)" du Mans au n° 3 de la revue "Musique et Technique", qui, s'ils ont songé à faire appel à la notion pertinente de réluctance, ont oublié de lier réluctance variable et vitesse de la corde. De simples et modestes agrégatifs auraient rectifié le tir (voir Capteurs.pdf).

    En confondant capteur de vitesse avec capteur de déplacement, leur théorie n'est pas celle du micro électromagnétique, mais celle d'un micro destiné aux rêveurs.

    On évidera de citer des noms, en supposant charitablement une "coquille" de la revue "Musique et Technique".

    J'en profite pour signaler que, malgré mon invitation, la bande de ""Professeurs des Universités (sic)" du Mans" n'a pas jugé bon d'affronter la controverse.

  • Le professeur de phys-hic à l'Université d'Illi-noix: Electronic Transducer For Musical Instrumetns (pdf à télécharger) - Professor Steven Errede, Department of Physics, The University of Illinoi, 2005.
    Excellent historique, et bonne théorie du micro, théorie malheureusement limitée à une sensibilité ponctuelle.
    Vraisemblablement, cette lacune vient du fait que l'aimantation de la corde est fautivement considérée comme parallèle à la corde, alors qu'elle lui est en réaliité perpendiculaire.

  • Le rêve germa-nique

    Des sites confus, tels celui d'Helmuth Lemme, auteur de livres en allemand, qui croit encore que la vitesse d'une corde n'est captée qu'en un point.
    D'où des digressions archi-rabachées par tout le monde (moi compris) sur les circuits résonants, qui n'apportent rien de neuf sur l'étude de la sonorité des micros, mais donnent lieu à la production d'une flopée de courbes bien trop elles pour être vraies.
    Afin de convaincre ses laudateurs égarés, les curieux pourront lire ici une critique de sa méthode et de ses raisonnements mal fondés.

  • Théories consistantes.

    Avec beaucoup de chance, on peut tomber sur les explications correctement formulées, mais incomplètes, de Don Tillant, dit Till.
    En effet Don Tillman semble être presque le seul à s'apercevoir que le micro capte la vitesse de la corde, non pas en un point, mais le long d'une distance de captation que je nomme "fenêtre de lecture" et lui "aperture".
    Voir son étude ---> ici
    Il s'ensuit qu'il peut légitiment aborder le rôle de la position du micro et de la longueur de corde captée.
    On peut seulement lui reprocher:
    • qu'il ne donne aucun fondement théorique au mode de captation du micro,
    • et ne tient compte que des notes effectivement frettées, ce qui ne lui retourne qu'un trop faible aspect de l'interprétation de la "sonorité propre" au micro lui-même.
    • enfin, dans sa tentative d'étudier l'association de plusieurs micros, il oublie la possibilité de leur éventuel couplage magnétique.

Pour ma part, je préfère privilégier les études basées sur mon expérience d'écoute, par rapport aux études uniquement théoriques menée par des non-musiciens, inapplicables à la réalité sonore, qui s'avère ... bien têtue.

Dans ce cadre, la théorie du micro électromagnétique, présentée aux pages reluctance.htm et window.htm, est consistante avec les lois fondamentales de l'électromagnétisme et la fréquentation de centaines d'instruments en plus de cinquante ans.

Vous:
Oui, mais est-elle "vraie", Monsieur le prétentieux?

Moi:
Je le suppose, lecteur candide, dans la mesure où le terme "vraie" aurait un sens.
Pour l'instant elle n'est que "consistante", ou "non contradictoire", c'est-à-dire "possible" ou "envisageable"
(en langage usuel).

Comme dit l'autre, je resterai génial (sic), mais modeste (re-sic): reste à vérifier, au travers des expériences quantitatives à venir, ... si je ne me mets pas le doigt dans l'oeil.

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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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