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3 - La réluctance d'un circuit magnétique, et relation fondamentale vitesse-force électromotrice

Sous-titre: La réluctance ?

Ah, dure, dure, la réluctance!


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Théorie - Theory

 
1. Généralités sur la réluctance d'un circuit magnétique:
  • Considérons un circuit magnétique qui traverse un circuit électrique de N spires de courant I. Dans le circuit magnétique, la circulation de l'excitation magnétique Ha due à l'aimantation (dérivant d'un potentiel uniforme) est nulle. donc la circulation de l'excitation H le long d'une courbe γ se résume à celle de l'excitation Hc liée aux courants du circuit électrique.

γ Hdl = ∫γ Hcdl

  • Si la courbe traverse le circuit, d'après le théorème d'Ampère:

γ Hdl = ∫γ Hcdl = NI

  • Si la courbe γ est une ligne du champ , alors on peut écrire:

γ Hdl = ∫γ Hdl=NI

  • Enfin, pour une section droite S du circuit (tube de champ), assez faible par rapport à la longueur du même circuit pour que le champ magnétique B puisse être considéré comme constant, alors le flux Φ de B (conservatif) s'écrit, tout au long du circuit de perméabilité magnétique µ:

Φ = BS = µHS

Alors, tout au long du circuit magnétique, on a:

NI = γ Hdl = γ Φdl/µS = R Φ

R = ∫γ dl/µS , caractéristique de l'ensemble du circuit magnétique, est dite réluctance du circuit

2. Dans le cas d'un micro électromagnétique pour guitare, le circuit magnétique est constitué des aimants et pièces polaires, en série avec l'entrefer micro/corde et la corde de diamètre D, pour se refermer, d'un pôle Nord vers un pôle Sud.

De plus ce circuit magnétique traverse un circuit électrique: une bobine de N spires, de self L et parcourue par un courant I.

Si on considère un tube de champ de section S, partant du pôle Sud des aimants et traversant:

  1. le circuit aimants/pièces polaires, de perméabilité µ1, de longueur l
  2. l'entrefer aimants/corde, de longueur ß et perméabilité µ0 (celle du vide),
  3. une corde de perméabilité magnétique µ,
  4. l'entrefer de retour vers le pôle Sud, de perméabilité µ0,

alors la réluctance totale est la somme:

  1. de la réluctance du système aimanté: l1S
  2. de la réluctance du premier entrefer: ß0S
  3. de la réluctance de la corde: DS
  4. du retour aérien au pôle Sud, où S tend vers l'infini (pour assurer que Φ = BS le long du tube de champ, avec B tendant vers 0), et donc la réluctance tends également vers 0.

J’assume donc que, si B tend vers 0 à l’infini, alors S y tend vers l’infini pour assurer la constance de Φ = BS.

CQFD.

NB:
Reste à admettre que B tend vers 0 à l’infini, ce qui se comprend dans la mesure où on s’éloigne indéfiniment de tout aimant et courant.
Dans un espace cartésien, on peut aussi considérer une surface S englobant tout l’univers, d'aire tendant vers l’infini, et pour la quelle B tend vers 0 pour assurer la conservativité du flux universel.
Finalement, on se trouve pratiquement en face d’un postulat.

D’un autre côté, ce raisonnement me semble conforme à l’intuition élémentaire, liée à la conservativité du flux.

Soit alors: R = l1S + ß0S + DS = 1/S(l1 + ß0 + D), avec µ0<<µ1 et µ0<<µ

D'où R = NI/Φ ß0S

En raison de la faible perméabilité magnétique de l'air,

la réluctance globale ne dépend sensiblement que de celle de l'entrefer aérien entre micro et corde.

Soit:

ΦSNIµ0/ß

, en remarquant que la surface S alors considérée:
s'appuie sur la corde,
et possède la longueur attribuée à la fenêtre de lecture.

NB: il s'agit ici du flux du champ induit par le seul éventuel courant, à l'exclusion du champ fixe créé par les aimants.

3. Petits mouvements de la corde, et linéarisation "au voisinage" du repos:

En préliminaire, il est fondamental de définir la nature d'un tel mouvement:

  1. par commodité, on suppose qu'il se produit dans le plan de polarisation perpendiculaire au micro,
  2. enfin, son sens positif est arbitrairement orienté vers l'éloignement du micro.

D'après la loi de Lenz et la définition de la self induction L, il apparaît une f.e.m. induite U(t) aux bornes de la bobine, telle que (si d représente le symbole de la différentielle d'une fonction):

U = - d(LI)/dt = -dΦ /dt

soit

U = -LdI/dt - IdL/dt

En application du théorème d'Ampère:

RΦ = RLI = NI soit RL =constante

Dans le cas de petits mouvements y(t) autour de la position ß au repos, en considérant des développements limités au premier ordre au voisinage de y=0:

  • ß devient ß+y
  • la réluctance R0 = NI/Φß0S devient R = R0 (1+y/ß)
  • le courant I0 devient I = I0 + i , avec i << I0
  • la self induction L0 devient L = L0(1-y/ß), car RL= constante
    (en effet, on obtient alors L = L0/(1+y/ß) = L0(1-y/ß)/(1-y2/ß2) ≈ L0(1+y/ß), en négligeant le terme y2/ß2, du second ordre devant 1)

et

U = -LdI/dt - IdL/dt = -L0 di/dt + (IL0 /ß)dy/dt = -L0 di/dt + (Φ0/ß)dy/dt

On distingue alors les deux termes classiques:

  1. le terme (Φ0/ß)dy/dt , expression d'une f.e.m. active, source du phénomène musical,
  2. le terme -L0 di/dt , expression d'une d.d.p. passive, produite par une impédance, et ici sans intérêt musical.

4. Relation fondamentale du couple corde-micro, ou relation vitesse-f.e.m.:

Finalement, la f.e.m. pure induite dans le bobinage est:

e = (Φ0/ß) v

  • ß est la distance corde/micro, au repos
  • Φ0 est le flux traversant la surface S , corde au repos
  • v = dy/dt est la vitesse de la corde au temps t

NB:

  1. La théorie, supposée applicable à un "single coil", est généralisable à un "humbucker", avec une seconde réluctance active en parallèle (second entrefer), et avec un résultat final facilement transposable.
  2. On peut alors monter (cf. Capteurs.pdf , page 3, première ligne), que (Φ0/ß) est le coefficient de couplage corde/micro, à la fois électrique ET mécanique.
                  


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En pratique - Facts

 

Dans le cas particulier d'une corde vibrante, chaque élément de corde dx intercepte sa contribution dΦ0(x) au flux total, et engendre la f.e.m. de, telle que:

de = ( v/ß) dΦ0

, à comparer à la définition adoptée pour le "coefficient linéique d'influence ponctuelle" k(x) de la corde sur le micro, au point x considéré":

de = kv dx

On en tire la valeur, donc une interprétation et légitimation du coefficient k (en weber par mètre carré, soit la dimension d'une induction), jusqu'ici arbitrairement introduit:

k = (1/ß) dΦ0/dx

Φ0(x) est, par exemple, le flux traversant la corde immobile, depuis une extrémité de la fenêtre de lecture, jusqu'au point x, à une constante près.

On rappelle ici que la surface S, au travers de laquelle on considère le flux Φ0, s'appuie sur la corde dans toute la longueur de la fenêtre de lecture.

Le champ qui produit un tel flux est donc réduit la seule composante Bp perpendiculaire à la corde du champ B.

On peut ajouter, qu'en toute rigueur, les seuls mouvements perceptibles par un tel micro, sont des mouvements de la corde situés dans la direction de l'axe des pôles, en pratique, les mouvements perpendiculaires à la table de la guitare.

                  


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Poil à gratter - Itching powder

  J'ai eu chaud.

Je n'arrivais pas à justifier par la seule théorie ce "&@*$#" (excusez les gros mots) de coefficient d'influence ponctuel k de la corde, qui me semblait pourtant intuitivement exister.

L'honneur est donc sauf.

Mais il me reste:

  1. à généraliser le coefficient k, pour un mouvement transversal, non colinéaire à l'axe des pôles, donc pour un mouvement quelconque, ce qui me semble relativement intuitif en raison de la linéarité des équations liées aux petits mouvements.
    Mais le fait que la corde plonge dans un milieu où
    B est transversalement extrémal (donc variation de flux 0), justifie qu'un tel mouvement soit négligé.
  2. si By(x) désigne la composante de B suivant l'axe y des pôles, il serait intéressant de justifier une autre intuition, celle qui consiste à identifier le coefficient k (homogène à une induction) à (µ/µ0)FBy(x) , où F serait un coefficient positif et sans dimension, ne dépendant que de la forme de la section de corde, supposée linéairement homogène,
  3. à déterminer, puis appliquer, les protocoles de mesures destinées à conforter définitivement ce qui n'est provisoirement qu'une théorie, certes fortement vraisemblable, mais encore critiquable.
Pfuit!
                  


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Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

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