Sons résultants

Enfin  H. Helholtz (Théorie Physiologique de la Musique, 1868) en développa la description en regroupant les sons résultants différentiels (de Sorge et Tartarini) avec sa propre conception des sons résultants additifs.

Sans vergogne, en raison de l'autorité scientifique supposée de ce brave Herman von Helhmoltz, cet "ukase" est accepté par tous les baraguouineurs en théorie de l'acoustique musicale.

Le LAM (Laboratoire d'Acoustique Musicale de Jussieu), questionné sur de point, m'a même gratifié d'un "silence radio" du plus bel effet.

Cependant, sans mettre en cause leur perception éventuelle, les sons résultants ne sont en nulle part justifiés par le cher professeur Helmholtz, ni théoriquement, ni expérimentalement,  handicapé qu'il était par l'absence de nos moyens de mesure actuels et par une manipulation des mathématiques mal assurée.

Mais dans le cas général, il serait temps de se préoccuper sérieusement de ces mystérieuses "notes résultantes", dont l'existence n'est attestée dans la littérature scientifique que sous la forme suivante, en vérité peu convaincante: "d'après H. Helholtz, on sait que, bla bla ..."

Plusieurs directions de recherche sont alors possibles, avec leur combinaison éventuelle:

1 Les notes résultantes supposées sont-elles déductibles de la notion de décomposition en série de Fourier, attachée à toute note de fréquence donnée?
Elles auraient alors une existence physique, mesurable expérimentalement.

2 Les notes résultantes ne sont-elles que le résultat auditif engendré par notre cerveau, une sorte "de mirage" de la perception?
Elles résisteraient à la mesure, bien qu'audibles par tous (ou par certains).

Un tel phénomène, bien connu, est la sensation auditive d'une note fondamentale, alors que seuls les partiels sont émis.
C'est le cas général des chaînes HiFi qui font laissent entendre des notes d'extrême graves que leurs haut parleurs sont bien incapables de restituer.

3 Comme suggéré, mais développé trop légèrement par notre vénérable savant, les sons (ou notes) résultant(e)s viendraient-ils d'un défaut de linéarité de l'acoustique, engendré par deux notes génératrices surpuissantes?

4 Enfin, conclusion qui serait bien gênante, les notes résultantes ne résulteraient ... que de nos lectures trop confiantes des auteurs réputés, voire de celles de "l'homme, qu'a vu l'homme, qu'a vu l'ours"?

Heureusement, le légendaire Richard P. Feynman, prix Nobel de physique en 1965, et enseignant de haute volée, donne sa clé dans "Le cours de Physique de Feymam, mécanique 2", section "Harmoniques", paragraphe "les réponses non linéaires".

En acoustique linéaire, c'est à dire pour des niveaux acoustiques "usuels", deux notes quelconques restent indépendantes.

Mais, pour les hauts niveaux, deux notes peuvent interagir.

En utilisant le principe de la "boite noire" (entrée -> transfert -> sortie), il propose une boite noire particulière qui associe à une "entrée" x(t)_entrée, une fonction "sortie linéaire" (acoustique linéaire) kx(t)_sortie, augmentée d'une petite perturbation du second degré (acoustique non linéaire), telles que:

 
x(t)_sortie = k[x(t)_entrée + ε.x²(t)_entrée]
 

Avec (Avec ε très petit) très petit par rapport à l'unité (1), cette approximation est légitimée par le principe, bien cerné en mathématique, des "développements limités des fonctions continues", l'erreur commise étant de l'ordre de ε², pourvu que "entrée" et "transfert" soient effectivement des fonctions continues du temps.

Dans la suite, pour simplifier les écritures, on considère les pulsations ω, au lieu des fréquences f, sachant que ω = 2πf.

Si l'entrée est composée de deux notes pures, d'amplitudes A et B et de pulsations respectives ω₁ et ω_2, on peut écrire:

x(t)_entrée= A cos ω₁t + B cos ω₂t

 Soit

x(t)_sortie = k[A cos ω₁t + B cos ω₂t + ε (A cos ω₁t + B cos ω₂t)²]

D'où

x(t)_sortie = k[Acos ω₁t - A(cos 2ω₁t)ε/2 + (A+B)ε/2 + Bcos ω₂t + B(cos 2ω₂t)ε/2+ 2 AB cos ω₁t cos ω₂t

• Les termes kAcos ω₁t et Bcos ω₂t sont les sorties linéaires des notes d'entrée, au sens de l'acoustique linéaire

• kA(cos 2ω₁t)ε/2  et kA(cos 2ω₁t)ε/2, sont les sorties, totalement crées, des "harmoniques deux" des notes d'entrée, souvent désignées par le nom de "distortions harmoniques"

• k(A+B)ε/2 est un terme constant, également créé, qui peut être nommé "terme de redressement", par référence au cas des courants électriques

• Enfin, 2 k AB cos ω₁t cos ω₂t, est le terme qui nous intéresse.

En effet, on peut écrire:

AB cos ω₁t cos ω₂t = AB/2 [cos (ω_{1 +} ω₂)t + cos (ω_{1 -} ω₂)t]

Deux nouvelles composantes ont donc été produites, l'une à la pulsation (ω_{1 +} ω₂), l'autre à la pulsation (ω_{1 -} ω₂)

Il est à noter qu'une telle "boite noire" concerne un raisonnement qui peut s'appliquer à tout mouvement vibratoire: acoustique, courant électrique alternatif, mécanique ondulatoire etc.

Si j'en attrape une, je vous l'apporte encore fumante.

En effet, si je sais à présent "qu'une boite noire me regarde" (éventuellement) et fabrique les notes résultantes, je ne sais toujours pas si cette boite existe physiquement, ou si elle n'est que le reflet du fonctionnement de mon oreille parvenue à saturation, voire, du fonctionnement de mon cerveau.

D'ailleurs, ce brave Richard P. Feynman ajoutait prudemment, à ce propos, que: "Cela n'est pas parfaitement clair!"

L'acousticien un peu lâche pourrait se satisfaire de la pirouette: l'acoustique musicale est, par définition, le domaine du linéaire et les sons résultants en sont donc exclus.

Mais si un peu de bon sens oblige à admettre que l'acoustique traite de tout ce qui est effectivement perçu auditivement, on peut se demander si les sons résultants ne sont pas le "piment" de la musique, le fameux "grain de son" recherché par nos enfants qui écoutent toujours "trop fort" (d'après nous) leurs "scies musicales".

A suivre.