Sans frame
No frame

Plan du site
To index page

Tous mes sites
To all my Web sites

Attention : si cette page (provisoirement incomplète) propose des solutions, elle pose également beaucoup de questions.

Elle peut en effet évoluer d'un jour à l'autre en fonction des erreurs qui s'y seraient éventuellement glissées, de mon inspiration du moment, et enfin des mesures physiques en laboratoire ... qui restent à réaliser.

Choose your language:

Google translator

(Traductor, traidor!)

4 - La "fenêtre de lecture" d'un ensemble de micros magnétiquement couplés:
- équation fondamentale

- fonction de pondération caractéristique

- le "Timbre" d'un micro.


13 Pages théoriques associées:


Promouvoir cette page sur Google

(Voir également les autres pages sur les micros)






Théorie - Theory




1 - Avant propos et principe du point fixe:
Les études concernant la sonorité de micros publiés jusqu'à aujourd'hui (1er décembre 2007), sont basées sur une corde théorique:
  • infiniment souple,
  • de masse linéique ml constante et connue,
  • de longueur L (du sillet au chevalet), longueur de corde à vide, ou "diapason", connue,
  • soumise à une tension T, également connue,
  • appuyée, d'un côté sur une frette (ou le sillet de tête) et de l'autre côté sur le chevalet.

NB: la "corde théorique" est une simplification (parfaitement justifiée pour notre propos) de la corde réelle, qui est en réalité (pour le mécanicien théorique), une poutre plus ou moins rigide, plus ou moins encastrée, et susceptible de vibrations plus ou moins "exotiques".

Les divers auteurs se sont alors acharnés à décrire les variations de la sonorité d'un micro en fonction de la longueur active (hautement variable) de la corde entre frettes (ou sillet) et chevalet, sans se rendre compte, qu'à l'écoute, le seul paramètre significatif sur la sonorité captée en un point était la distance x (immuable pour ce point) qui sépare ledit point du chevalet.

Il n'est donc pas étonnant qu'aucune des précédentes études n'aboutissent qu'à un échec, comme la simple expérience du musicien aurait du le pressentir.

Pourtant, la solution ne réside qu'en un changement de variable qui élimine la longueur de la corde frettée (corde appuyée sur le chevalet ET une frette ou sillet, ici considéré comme frette 0).
Au lieu de d'utiliser la position matérielle d'une frette, il suffit de considérer la longueur d'onde l de la note qu'elle détermine (plus précisément, sa fondamentale) , à l'aide de la relation K = 2Lf0 = (T/
ml)1/2= lf, où, par définition, K est une constante mécanique caractéristique de la corde vibrante tendue, uniquement dépendante de la force de tension T appliquée et de la masse linéique ml de la corde supposée longitudinalement homogène.

On s'affranchit ainsi de la position matérielle d'une frette, en remplaçant:
  • des longueur physiques existantes, mais variables, et donc sans signification absolue, à savoir, les distances chevalet-frettes,
  • par des longueurs théoriques, certes variables, mais hautement représentatives des notes à étudier, à savoir, les longueurs d'ondes, reportées à partir du seul point fixe immuable, le chevalet.
Pour étudier les vibrations correspondant à une note en un point situé à la distance x du chevalet, dans la suite de cette page, les paramètres de distances seront exprimés en fonction de:
  • la distance x mesurée à partir du chevalet,
  • de la longueur L de corde à vide,
  • de la fréquence f0 de la note à vide
  • de la longueur d'onde l de la note à étudier.


2 - Définition de l'influence d'un élément de corde en un point:Haut de page

Un élément de corde cylindrique de longueur dx, plongé dans le champ magnétique d'un micro, acquière lui-même une aimantation, qui dépend:
  • du champ fixe engendré par le circuit magnétique du micro (aimants et pièces polaires),
  • du diamètre de la corde,
  • de la perméabilité magnétique du matériau constitutif de ladite corde.

Cet élément peut être alors assimilé à un dipôle magnétique, dont les mouvements induisent un flux variable dans les bobinages du micro.

Malheureusement, un tel dipôle est très difficile à modéliser.

Cependant, on a vu qu'il est légitime de supposer (avec d, symbole de la différentiation mathématique), qu'un tel élément, doté d'une vitesse v(x,t), induit une force électromotrice élémentaire de proportionnelle à sa longueur dx et à sa vitesse v, ainsi qu'à un coefficient de proportionnalité k, ne dépendant que du champ au point x et de la nature (géométrie et perméabilité magnétique) de la corde en ce point.
Un tel coefficient k répond alors à l'équation:


dekvdx

Par définition, on le nommera: "coefficient linéique réciproque d'influence ponctuelle" de la corde sur le micro, au point x considéré.

Ses dimensions sont donc données en weber/mètre carré, soit celle d'une induction magnétique.

Le terme "linéique" rappelle qu'il se rapporte à l'unité de longueur de corde.
Le terme "ponctuelle" rappelle que l'influence se réfère à un point déterminé de la corde.
Le terme "réciproque" rappelle qu'il s'agit d'une influence, autant de la corde sur le micro, que du micro sur la corde.

Haut de page
 3 - Définition de la "fenêtre de lecture" d'un ensemble de micros magnétiquement couplés:

Les théories pullulent sur la variabilité de la sonorité des micros, en fonction de leur structure propre, et de leur emplacement sur la guitare.

Bien souvent, l'impédance du circuit équivalent au micro est invoquée comme déesse nourricière de sa sonorité. Des ouvrages entiers y ont été consacrés, pour arriver au mince résultat ... qu'un "single coil" "sonne" plus aigu qu'un "humbucker".

C'est oublier que, dans le cas d'un ampli du commerce, dit "à haute impédance", le micro est bouclé sur une impédance quasi infinie. Alors, les impédances branchées "en série" deviennent négligeables, quand les impédances supposées "en parallèle" (comme des capacités de fuite, localisées ou diffuses), deviennent prépondérantes, ... mais sont classiquement négligées.

La belle affaire. La prétendue mère nourricière n'était qu'une marâtre!

De même, on ne compte plus les études sur la variation de la sonorité, liée à la localisation du micro sur un point particulier des cordes, sans production de résultats universellement consensuels.

Le point de fonctionnement n'était-il qu'un point d'interrogation?
J'émets donc une hypothèse peu ou pas évoquée dans la littérature.
La sonorité ne serait-elle pas liée à la longueur de l'espace longitudinal capté par le micro, ou longueur utile de corde captée, que je nomme "
ouverture de fenêtre de lecture du micro" ("aperture" chez certains auteurs anglophones) ?

On se rapproche alors de l'étude des effets de la forme du champ magnétique associé au micro, effets dont je soupçonne depuis longtemps l'action, sur la sonorité.

On remarquera ici que la fenêtre ainsi définie, peut éventuellement se confondre avec la largeur visible du micro, mais qu'elle peut en être totalement distincte.

Il s'agit en effet d'une fenêtre immatérielle, lieu où le micro est (plus ou moins régulièrement) sensible à une corde vivante métallique.
 
Enfin, compte tenu de la possibilité de couplage magnétique de deux micros adjacents, la notion de fenêtre doit être étendue à celle de "fenêtre de lecture d'un ensemble de micros magnétiquement couplés".

NB: comme le "coefficient d'influence", il s'agit d'une fenêtre relative:

  • au micro (où à un ensemble de micros magnétiquement couplés),
  • ET à une corde déterminée.
Chaque corde définit donc une fenêtre associée à chaque ensemble de micros.

4 - Cas d'une note pure (voir: la corde vibrante théorique)Haut de page

  • On désigne par "note pure", une note se résumant à sa fondamentale, sans aucun harmonique (cas des modes dits stationnaires, normaux, ou fondamentaux). 
  • Le  cas général n'est pas oublié, car une note réelle - ou "note harmonique" -, supposée infiniment longue, de fréquence f, peut toujours être considérée comme une somme infinie de telles notes pures, de fréquences f (la fondamentale), 2f, 3f etc. (les harmoniques), ajoutées avec chacune, sa phase et son intensité.
  • Ceci est valable mathématiquement (théorème de Fourier) et également physiquement, car expérimentalement, toute note peut effectivement être synthétisée (donc perçue par l'oreille) par émission simultanée de notes pures, déterminées par le calcul résultant du théorème de Fourier.
  • La théorie des cordes vibrantes indique qu'alors, la corde théorique vibre selon une somme infinies de sinusoïdes variables en fonction de l'espace, elles-mêmes variables en fonction du temps.
  • Par convention, la fonction sinusoïdale représentant une note pure sera écrite sous la forme a cos(2πft +φ), ou a est son intensité, f sa fréquence et φ sa phase.
  • De sorte qu'une note harmonique sera écrite sous la forme d'une série convergente: (de n=1 à n=∞) an cos(2πft + φn), où:
    •  an est l'intensité du nième harmonique,
    • φn sa phase
    • et f la fréquence de la fondamentale (par convention, harmonique de rang 1)
Haut de page

5 - Equation fondamentale du micro:

A un instant t fixé, l'état de déformation de la corde émettant une note pure, ressemble au schéma suivant:
 

L est la longueur totale de la corde, l est la longueur d'onde de la note pure considérée, y est l'élongation de la corde à la distance x du chevalet.

Alors, d'après la page sur la corde vibrante tendue,si f0 est la fréquence de la note à vide, E l'élongation maximale de la note pure considérée, et f sa fréquence, l'élongation y au point x s'écrit:

y = E sin(
πxf/Lf0) = E sin(2πxf/K)
  • la longueur d'onde étant alors l = 2Lf0/f
  • et K = 2Lf0 = lf = constante mécanique de la corde, supposée longitudinalement homogène.
On vérifie bien les conditions aux limites, pour une corde de longueur L=2l:
  1. y = 0 pour x=0
  2. y = 0 pour x = l

En fonction du temps t, l'élongation E(t) est elle-même une fonction sinusoïdale de t:

E = a sin(2π ft + φ)

Au total, on a, avec l'amplitude a et la phase φ de la note (voir la page concernant la corde théorique) la déformation y de la corde peut se mettre sous sa forme, ici dite canonique:

 y(x,t) = a sin(2πft + φ) sin(2πxf/K)


On en déduit la vitesse v à l'abscisse x et au temps t:


Pour un micro axé à la distance d du chevalet, si la fenêtre de lecture est limitée par les distances:
  • A, depuis l'axe du micro, coté chevalet, en un point de coordonnée i, nommé par définition borne inférieure de la fenêtre,
  • et B, depuis l'axe, mais côté manche, en un point de coordonnée s , nommé par définition borne supérieure de la fenêtre,

Alors, pour un micro quelconque, généralement, la fenêtre est asymétrique, et bornée par les distances à partir du chevalet:

  • i = d-A, côté chevalet (borne inférieure),
  • et s = d+B, côté manche (borne supérieure)
  • par définition, l'ouverture de fenêtre de lecture (ou aperture, chez les anglophones) est alors: L = B+A = s - i

Comme dekvdx, on en déduit immédiatement la valeur de la force électromotrice induite:

e = 2πf a cos(2πft + φ)(de x=i à x=s) k(x) sin(2πfx/K)dx


Par définition, cette formule sera désignée par "équation fondamentale du micro (où d'un ensemble de micros couplés)",
sachant qu'il s'agit d'une relation commune à l'association micro/corde.

On voit immédiatement que la f.e.m. induite est indépendante du point d, arbitrairement choisi pour désigner l'emplacement du micro.

6 - Partition de la fenêtre de lecture:Haut de page


Sans renseignements a priori sur le signe attribué à
k(x) dans le segment [i,s], il est difficile de traiter simplement de l'intégration de l'équation fondamentale du micro.

On va donc scinder le segment en une partition dénombrable de sous-fenêtres
k(x) garde un signe constant.
Dans ce qui suit on conviendra que l'abscisse x est celle d'un point X.
Prenons l'exemple d'un micro micro "sigle coil" solitaire, du type micro de Stratocaster.

En plaçant le chevalet à gauche, une corde plongeant dans les lignes de champ du micro partage alors la fenêtre de façon suivante:

y
x Corde plongeant dans le champ, micro orienté coté nord.

De gauche (coté chevalet) à droite (côté manche), on peut suivre le sens de traversée du champ magnétique au travers de la corde.

NB:
on rappelle ici que les lignes de champ sont conventionnellement orientées dans le sens du champ magnétique, soit du sud vers le nord.
Quand au sens de la traversée de la code par le champ, il est orienté dans le sens du déplacement y de la corde, ici de bas en haut.
  • depuis le chevalet jusqu'au point de tangence T1 (par exemple en A), la corde est traversée positivement, donc avec k(x)>0,
  • En T1, le champ et la corde sont parallèles, et donc k(x)=0,
  • de T1 (premier point de tangence) à T2 (second point de tangence), la corde est traversée négativement (par exemple en B, C ou D), donc avec k(x)<0,
  • En T2, le champ et la corde sont parallèles, et donc k(x)=0,
  • de T2 jusqu'au manche (par exemple en E), la corde est traversée positivement, donc avec k(x)>0
On voit que la corde traverse plusieurs segments de fenêtre qui découpent ladite fenêtre en segments adjacents, cas intuitivement généralisable à tous les cas de micros électromagnétiques, isolés ou associés deux à deux, magnétiquement couplés ou découplés.
On peut donc admettre que:

Toute fenêtre de lecture d'un, ou d'une association de micros électromagnétiques, est décomposable en une suite finie de sous-fenêtres adjacentes, segments fermés dans lesquels la fonction k(x) garde un signe constant.
La frontière entre deux sous-fenêtre est constituée d'un point admettant le coefficient 
k(x) = 0

Par convention
, l'ordre p des sous-fenêtres sera numéroté dans le même sens que les abscisses:
  • 1, depuis le chevalet,
  • vers P du côté sillet.
NB: Evidemment, si chaque sous-fenêtre d'indice p (p, de 1 à P) produit une f.e.m. ep, la sommation des P intégrales fournit:

e
= ∑(de p=1 à n=P)
ep

7- Résolution de l'équation fondamentale du micro:Haut de page

On a vu que dans chaque sous-fenêtre de lecture, la fonction k(x) garde un signe constant.

On peut donc appliquer dans chaque sous-fenêtre (d'indice p) le théorème de la moyenne généralisée:

Soit, pour un sous-fenêtre d'indice p, représentée par le segment fermé [ip,sp]:

x0p ∈ ]ip,sp[ tel que:

(de x=ip à x=sp) k(x) sin(2πfx/K)dx = k(x0p)(de x=ip à x=sp)sin(2πfx/K)dx

k(x0p) peut alors être considéré comme une valeur moyenne de k(x) sur [ip,sp]

Soit:

ep = 2πf a cos(2πft + φ)k(x0p)(de x=ip à x=sp)sin(2πfx/K)dx

après intégration et en nommant k(x0p) = k0p, il vient:

ep = -2πf (K/2πf) k0p a cos(2πft + φ)[cos(2πfsp/K)-cos(2πfip/K)] =

- K k0p a cos(2πft + φ)[cos(2πfsp/K)-cos(2πfip/K)]

et alors:

e = ∑(de p=1 à n=P) en = - K a cos(2πft + φ) (de p=1 à p=P) k0p[cos(2πfsp/K)-cos(2πfip/K)]

Après conversion classique de la différence de deux cosinus en un produit de sinus, on obtient:

e = 2K a cos(2πft + φ) (de p=1 à p=P) k0psin πf(sp+ip)/2K sin πf(sp-ip)/2K

soit, en posant:

dp = (sp+ip)/2, distance moyenne entre chevalet et la pième sous-fenêtre,
Lp= (sp-ip) = ouverture (ou longueur) de la pième sous-fenêtre:
ep = 2K a cos(2πft + φ) k0psin πfdp/K sin πfLp/2K

Soit, enfin, tous calculs faits on obtient la

forme explicite de l'équation fondamentale du micro (où d'un ensemble de micros couplés)

  e = 2K a cos(2πft + φ) (de p=1 à p=P) k0psin πfdp/K sin πfLp/2K

Au total, la force électromotrice engendrée par le micro est proportionnelle:

  • à des paramètres attendus, a priori:

  1. la cause elle même:
     a
    cos(2
    ft + φ), vibration génératrice de la note, fonction du temps, retransmise au micro sans changement de fréquence, ni déphasage, ce qui assure également la retransmission des transitoires,

  2. K = 2Lf0 = (T/ml)1/2= lf, caractéristique de la corde tendue, uniquement dépendante de la force de tension T appliquée et de la masse linéique ml de la corde, coefficient apparu consécutivement à l'intégration le long de la fenêtre de lecture, et indépendant de la fréquence et du micro

  • mais aussi à des valeurs et des "intrications" plus inattendues, mais fortement pressenties par le guitariste expérimenté:

  1. P paramètres électroniques caractéristiques de l'assemblage corde-micro dans chaque sous-fenêtre:
    k0p, "coefficient d'influence moyen de la corde" sur le micro, valeur "moyenne" de k(x) en un certain point x0p à choisir dans la sous-fenêtre de lecture, évidemment dépendant de la faculté de la corde à s'aimanter localement, mais indépendant de la fréquence f.
  2. sin πf(sp+ip)/2, dépendant de la distance moyenne dp = (sp+ip)/2 , entre chevalet et la pième sous-fenêtre,
  3. sin πf(fsp-ip)/2, dépendant de la demi-longueur Lp/2= (sp-ip)/2 de la pième sous-fenêtre de lecture,
  • en revanche, la f.e.m. décrite reste implicitement indépendante des frettes, utilisées ou non.


Haut de page

8 - Modulation d'amplitude subie par une note pure et fonctions de pondération caractéristique:

On peut remarquer que l'équation fondamentale peut être décomposée en deux termes multiplicatifs distincts

e = 2K a cos(2πft + φ) (de p=1 à p=P) k0p sin πfdp sin πfLp/2

=

[2K a cos(2πft + φ)][(de p=1 à p=P) k0p sin πfdp sin πfLp/2]

 Soit, par définition:

e = emusicale x A

emusicale = a cos(2πft + φ):

  • emusicale : participation "musicale" de la note de fréquence f à la f.e.m.,
  • dépendante du temps t,
  • et de la nature de la corde, toujours supposée homogène, par l"intermédiaire du coefficient K

et

A(f)= (de p=1 à p=P) Ap(f) = 2K ∑(de p=1 à p=P) k0p sin πfdp/K sin πfLp/2K

  • chaque Ap(f) est une modulation du signal musical, à caractère géométrique pour les variables dp et Lp,
  • deux fois fonction périodique de la fréquence f,
  • indépendant du temps,
  • caractéristique des paramètres du micro ET de sa positions,
  • agissant sur l'ensemble du spectre sonore capté par le micro.

Dans la suite, chaque modulation Ap(f) sera désigné par le nom de

Fonction de pondération caractéristique du micro pour la pième sous-fenêtre.

Et comme on a toujours, par construction, Lp/2 < dp , alors:
Chaque fonction de pondération étant de la forme Ap(f) =  2K k0p sin πfdp/K sin πfLp/2K




On voit qu'il s'agit de p modulations Ap(f) =  2K k0p sin πfdp/K sin πfLp/2K

 où:
  • p fonctions  2K k0p sin πfdp/K
  • sont respectivement modulées par p fonctions sin πfLp/2K



9 - Réjection de fréquences dans une sous-fenêtre:Haut de page

La valeur sin πfdp/K indique un affaiblissement marqué, voire une annulation totale du signal capté dans la pième sous-fenêtre, aux voisinages de fdp/K = ß (où ß est un entier arbitraire positif),

Soient, des fréquences de réjection: f = ßK/dn (où ß est un entier arbitraire positif)

1 - Aux voisinages de  f = ßK/dp (pour tout ß, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour une sous-fenêtre centrée à la distance dp du chevalet.

La valeur sin πfLp/2K indique un affaiblissement marqué, voire une annulation totale du signal capté, aux voisinages de fLp/2K = ß ,

Soit des fréquences de réjection: f = 2ßK/Lp (où ß est un entier arbitraire positif)

2 - Aux voisinages de  f =  2ßK/Lp (pour tout ß, entier positif), les fréquences captées sont donc affaiblies, voire ignorées, pour un micro ayant une longueur de sous-fenêtre de lecture égale à Lp

On remarquera que, les distances d et X étant plus courtes (par construction) que la demi-longueur d'onde la plus courte parmi les notes frettées, les fréquences f concernées par la réjection sont plus hautes que fM, la fondamentale frettée la plus haute.


Ces fréquences de réjection correspondent éventuellement:

  • à des harmoniques d'une note frettée,
  • voire, à des simples bruits,
  • mais, en aucun cas, à la fondamentale d'une note frettée.

Haut de page
10 - Etendue des fenêtres et sous-fenêtres de lecture:
 
Il peut y avoir une (micro solitaire) ou bien plusieurs (micros multiples) fenêtres de lecture, correspondant chacune à un (ou des) micro(s) déterminé(s).

Dans le cas de deux sous-fenêtres adjacentes, correspondant réciproquement à deux micros adjacents:
  1. si les micros sont magnétiquement couplés, leurs sous-fenêtres confondues et ne forment plus qu'une seule,
  2. s'ils sont magnétiquement découplés, leurs sous-fenêtres respectives sont simplement disjointes et adjacentes en un point où k(x)=0.
Mais nous allons déterminer les points extrêmes possibles pour toutes les fenêtres.
Si les cordes sont normalement amorties en amont du chevalet (entre chevalet et cordier) et en aval de chaque frette réellement utilisée (donc entre frette et sillet), il est évident que les cordes n'ont plus d'influence sur le (ou les) micro(s).


On peut alors admettre, par convention somme toute logique, que la (ou les) fenêtre(s) de lecture est (sont) fatalement bornée(s):
  • par le chevalet d'un côté (au point d'abscisse 0),
  • et de l'autre côté, par chaque frette, voire par le sillet, réellement utilisés pour produire une note

Minimum mimimorum:

Comme on vient de voir, ce point minimal est le point 0 d'abscisse x=0, c'est-à-dire la borne inférieure i1 de la première sous-fenêtre

Maximum maximorum:

Quant au point maximal, c'est alors le point sP, borne supérieure de la Pième et dernière sous-fenêtre.

On remarque alors que si les premières sous-fenêtres, déterminées par les seuls assemblages micros-cordes, sont immuables dans une configuration donnée de la guitare, il n'en est pas de même pour la Pième et dernière sous-fenêtre, qui dépend de la frette réellement jouée.

Dans cette singulière sous-fenêtre variable, la f.e.m. développée s'écrit:
eP = 2K a cos(2πft + φ) k0P sin πfdP sin fLP/2

Mais si l'influence des frettes n'est pas explicite dans la formule, elle figure implicitement dans le fait que les frettes influent:
  • sur la valeur sP de la borne supérieure de la Pième et dernière sous-fenêtre,
  • et, par conséquent, également sur la valeur k0P du coefficient moyen de ladite sous-fenêtre.

Soit alors r le rang de la frette envisagée, dans une système de frettage du type "bien tempéré" et pour une longueur de corde à vide L, alors l'abscisse sr de la frette est donnée par la formule:

sr = L/2r/12 = sP

NB: on vérifie effectivement que:

  • le sillet correspondant à r = 0, on a bien sr = L
  • et, l'octave correspondant à r = 12, on a bien sr = L/2

Dans ces conditions, on voit que la valeur  de la f.e.m. globale e = (de p=1 à n=P) ep reste invariante dans les changements de frette utilisée, mise à part la seule partie variable, eP = 2K a cos(2πft + φ) k0P sin πfdP sin fLP/2, correspondant à la dernière sous-fenêtre, d'ordre P.

Haut de page

"Truss rod" ferromagnétique:

Dans le cas fréquent d'un "truss rod" ferromagnétique, la dernière sous-fenêtre, d'ordre P, se conforme au schéma suivant, où le "truss rod" se comporte, par influence, comme un aimant présentant au micro un pôle opposé au denier pôle du (ou des) micro(s).


y

x
Exemple de Pôle Nord (dernier pôle), opposé au pôle Sud artificiellement induit dans le "truss rod"

On retrouve ici les points de tangence T1, T2 et T3 délimitant les sous-fenêtres habituelles.

Mais surtout le points de divergence
S qui délimite:
  • la zone de gauche, où les lignes de champ rejoignent le dernier micro,
  • la zone de droite, où les lignes de camp échappent à tout micro.

On en déduit que le point S, d'abscisse s, est le point maximal de toute sous-fenêtre ou fenêtre de lecture.

Dans le cas de figure représenté, la dernière sous-fenêtre est le segment T2-S, d'abscisse [t2,s].

Dans le cas d'un "truss rod" ferromagnétique, en plus du minimum minimorum situé au niveau du chevalet d'abscisse  nulle, il existe un point d'abscisse s = sP, indépendant des frettes, maximum maximorum des sous-fenêtres.

Le point
S, étant un "point de foisonnement" du champ à partir d'une masse magnétique, se prête difficilement à une localisation simple à partir du dispositif expérimental.
Pour l'occasion, il pourra être remplacé par un dispositif analogue, mais où le quasi-plan des frettes est disposé perpendiculairement à la direction du pôle magnétique terrestre.

11 - Hypothèse d'interprétation du coefficient d'influence réciproque:Haut de page

Compte tenu des réflexions précédentes, je propose d'identifier le "coefficient ponctuel réciproque" k(x) d'une corde à:

/µ0)FBy(x) = de/vdxk(x)

  • x désigne le point courant considéré de la corde, et dx l'élément de corde correspondant,
  • By(x) désigne la composante de B(x) (induction engendrée par le micro) au même point, suivant l'axe y de déplacement des cordes,
  • v est la vitesse de corde au même point,
  • de est la f.e.m. élémentaire, induite par l'élément dx
  • F est un coefficient de nature "géométrique", sans dimension, ne dépendant que de la forme de la section de corde au point x

Dans ces conditions, pour une corde homogène (donc, à µ et F constants), la valeur de k(x) se confond avec celle de By(x), à un facteur multiplicatif k près, constante ne dépendant que:

  • de la forme de la section,
  • et de la perméabilité magnétique de la corde, soit:
k(x) = kBy(x)

avec

k = constante positive le long la corde homogène = (µ/µ0)

En ce cas, on peut dire que la mesure de k(x) se confondrait avec celle de By(x) , à un facteur positif près (k), caractéristique de la seule corde.

Dans ces conditions, d'après l'équation fondamentale du micro, la participation ep de la pième sous`fenêtre à la f.e.m. totale e s'écrit:

ep = 2πf a cos(2πft + φ)(de x=ip à x=sp) k(x) sin(2πfx/K)dx
=
2πf a cos(2πft + φ)k(de x=ip à x=sp) By(x) sin(2πfx/K)dx

soit, après intégration, sous la forme explicite:

ep = 2Kk a cos(2πft + φ) By(x0p)sin πfdp/K sin πfLp/2K

L'évaluation des P valeurs moyennes  By(x0p) découle directement du théorème de la moyenne généralisée:
Soit, pour un sous-fenêtre d'indice p, représentée par le segment fermé [ip,sp]:

x0p ∈ ]ip,sp[ tel que:


(de x=ip à x=sp) k(x) sin(2πfx/K)dx = kBy(x0p)(de x=ip à x=sp)sin(2πfx/K)dx

d'où la valeur de kBy(x0p):

k(x0p) = kBy(x0p) = [(de x=ip à x=sp) k(x) sin(2πfx/K)dx]/[(de x=ip à x=sp)sin(2πfx/K)dx]
=

[(de x=ip à x=sp) k(x) sin(2πfx/K)dx]/[cos(2πfip/K)-cos(2πfsp/K)]

12 - "Fenêtre maîtresse" et "centre" d'un micro:Haut de page

"Single coil" solitaire:

Jusqu'à présent, la définition des fenêtres et sous-fenêtres, liée à la notion de "systèmes de micros" (couplés ou non), restait indépendante de l'emplacement réel de chaque micro.
En raison de l'affaiblissement progressif de
k(x) = kBy(x) en fonction de l'éloignement de chaque micro, nous allons faire l'hypothèse que seule la fenêtre entourant physiquement chaque micro participe réellement à la sonorité captée.
Par définition, cette fenêtre sera nommée "fenêtre de lecture maîtresse" de l'assemblage corde-micro.
L'avantage de cette notion est d'attribuer un sens à la notion d'emplacement d'un micro, en tant qu'extremum de
k(x).
Par exemple, dans le cas d'un single coil unique on peut représenter la configuration de l'assemblage corde-micro suivant:

y
x
Corde plongeant dans le champ, micro orienté coté nord.

La "fenêtre de lecture maîtresse" de l'assemblage corde-micro est alors le segment de droite T1 T2, délimitant un segment [t1,t2] fermé, dans lequel:

On en déduit que le point C est, par définition, l'emplacement physique du micro.

Il est aisé de généraliser cette notion de "centre physique" à tous les micros envisageables.

C'est simplement le point d'une corde où le champ magnétique produit par un micro est extrémal.


"Humbucker" solitaire:

y

x
Corde plongeant dans le champ d'un humbucker solitaire.

NB: Par souci de simplification, la pièce polaire qui relie la base des deux aimants n'est pas représentée. Mais, du côté de la  corde, la figure resterait identique.

La "fenêtre de lecture maîtresse" de l'assemblage corde-micro est alors le segment de droite T1 T3, délimitant deux sous-fenêtres (T1 T2 et T2 T3) et deux segments fermés ([t1,t2] et [t2,t3]) , dans lesquels (voir les propriétés des lignes de champ):

  •  k(x) = kBy(x) garde un signe constant dans chaque sous-fenêtre (ici, négatif dans [t1,t2] et positif dans [t2,3])
  • avec deux extremums, en C1 et C2
  • et k(t1) = k(t2) = k(t3) = 0

Par convention, le centre du micro est défini en T2.


Paire de "single coils" magnétiquement couplés:

La figure représentative serait identique à la précédente, donc avec des conclusions également identiques, sauf qu'elles concernent ici l'assemblage de deux micros distincts:

y

x

Corde plongeant dans le champ de deux "sigle coils" magnétiquement couplés

La "fenêtre de lecture maîtresse" de l'assemblage corde-micros est alors le segment de droite T1 T3, délimitant deux sous-fenêtres (T1 T2 et T2 T3) et deux segments fermés ([t1,t2] et [t2,t3]) , dans lesquels (voir les propriétés des lignes de champ):

  •  k(x) = kBy(x) garde un signe constant (ici, négatif dans [t1,t2] et positif dans [t2,t3])
  • avec deux extremums, en C1 et C2,
  • et k(t1) = k(t2) = k(t3) = 0
Par convention, le centre de chaque micro est respectivement défini en C1 et C2.


Paire de "single coils" magnétiquement découplés:

y

x
Corde plongeant dans le champ de deux "single coils" magnétiquement découplés


On a affaire à présent à deux micros distincts, avec deux fenêtres maîtresses distinctes, les segments de droite : T1 C et C T2 dans lesquels (voir les propriétés des lignes de champ):

  •  k(x) = kBy(x) garde le même signe dans les deux sous-fenêtre (ici, négatif dans [t1,c] et positif dans [c,t2]),
  • avec trois extremums, en C1, C et C2
  • et k(t1) = k(t2) = 0

Par convention, le centre de chaque micro est défini en C1 et C2.

Mais apparaît un nouvel extremum en C, qui peut être qualifié de centre du système des deux micros découplés

Plus généralement:

Tout ensemble de micros classiques peut être scindé en une suite de paires de micros analogues aux cas étudiés plus haut.

On en déduit qu'un centre peut être attribué à chaque micro, et, éventuellement en plus, à chaque paire de micros découplés.




Haut de page

En pratique - Facts




Pour une note pure donnée et un micro donné (rappels):

Alors, d'après l'équation fondamentale du micro:

  • pour une intensité a donnée de la note génératrice, de fréquence f et de phase φ,
  • pour une fenêtre de lecture correspondante au micro, de bornes i (inférieure) et s (supérieure),
  • pour une distribution donnée k(x) dans l'intervalle fermé [i,s],
  • pour une corde de longueur L , de masse linéique ml, de tension T connues, avec K = 2Lf0 = (T/ml)1/2
la f.e.m. induite est (équation fondamentale du micro):

e = 2πf a cos(2πft + φ)(de x=i à x=s) k(x) sin(2πfx/K)dx


2 - Equation fondamentale généralisée: cas d'une note complexe (au sens de note à caractère harmonique).

Plus généralement, une note complexe génératrice, de fondamentale f, supposée infiniment stable dans le temps, est:

  1. accompagnée de ses harmoniques de fréquences nf (n entier positif),
  2. affectés de la phase φn (la fondamentale étant désignée par "l'harmonique de rang 1").

Si la note fondamentale est du type a1 cos(2πft + φ1), d'après une décomposition dite "de Fourier", la note complexe génératrice s'écrit alors sous la forme:

(de n=1 à n=∞) an cos(2πnft + φn), série convergente, par hypothèse.

Alors, en raison de la linéarité des lois de l'électromagnétisme, la f.e.m. totale induite s'écrit alors:

e = (de n=1 à n=∞) an cos(2πnft + φn)(de x=i à x=s) k(x) sin(2πnfx/K)dx

En remarquant que la définition de la partition en sous-fenêtres ne dépend que de la topologie du champ magnétique, en reste donc indépendante des fréquences, alors dans chacune des P sous-fenêtres d'ordre p, on peut écrire la forme explicite de l'équation fondamentale:

ep = 2K an cos(2πnft + φn) (de p=1 à n=P) k0psin πpf(sp+ip)/2K sin πpf(sp-ip)/2K

et

e 2K (de n=1 à n=) an cos(2πnft + φn) (de p=1 à n=P) k0psin πf(sp+ip)/2K sin πf(sp-ip)/2K

De sorte que,

  • la suite des an  (de n=1 à n=∞), ou spectre de la note génératrice, qui caractérise classiquement son "timbre" ou sa  "sonorité",
  • devient un nouveau spectre, celui de la f.e.m. e, qui est la suite des An tels que:

 An(f) = 2K an (de p=1 à n=P) k0psin πf(sp+ip)/2K sin πf(sp-ip)/2K

Enfin, la série qui représente la note complexe génératrice étant convergente (par hypothèse), tous les autres composants de An(f) étant bornés sur [i,s],

alors

la série

e 2K (de n=1 à n=) an cos(2πnft + φn) (de p=1 à n=P) k0psin πf(sp+ip)/2K sin πf(sp-ip)/2K

converge également sur [i,s], comme on l'attend a priori.

On en déduit que tout le spectre de la note complexe subit la fonction de transfert:

an An(f) = 2K an (de p=1 à n=P) k0psin πf(sp+ip)/2K sin πf(sp-ip)/2K
(de n=1 à n=∞)

Par rapport à la note originale, Il s'agit d'une nouvelle sonorité, dictée par l'assemblage corde/micros.



On rappelle ici qu'on a nommé "note complexe génératrice", une simple description mathématique simplifiée de la vibration de la corde théorique.
On se gardera bien de confondre cette notion simpliste avec la note réelle entendue, dont la description fidèle relèverait d'un vœu pieux, plus que d'une description scientifique.
Il en est de même avec la "nouvelle sonorité", qui n'est que l'origine d'une future note réelle attendue.

3 - Le "Timbre" ou le "chant" d'un micro et analogie vocale.

Dans le cas de la voix, il existe une distinction entre les notions de:

  • timbre vocal, propre à l'expression personnelle, souvent inconsciente du phonateur,
  • et la notion de voyelles, sonorités communes à un groupe de locuteurs, culturellement définies.

Par analogie, on peut associer respectivement:

  • "sonorité du micro" avec "timbre vocal"
  • "coloration par impédances" avec "voyelle"
On peut constater que le phénomène ici décrit est applicable à tous les sons engendrés par la vitesse des mouvements de la (des) corde(s).

En particulier, pour peu que la distribution de l'influence mutuelle dans fenêtre ne change pas d'une corde à l'autre, ce phénomène reste identique pour les six cordes de la guitare.

ll affecte également l'ensemble des transitoires de chaque note, ainsi que les bruits éventuellement captés depuis les cordes.

Dans cette optique, pour le micro, la "fonction de transfert" liée à la f.e.m. induite, jouerait de rôle de ce qui est nommé "timbre" dans le cas de la voix humaine.
Et la sonorité du micro serait une sorte de chant particulier, dépourvu de valeur sémantique, qui caractérise à la fois, le micro, la largeur de sa fenêtre de lecture et sa position par rapport au chevalet.

Quand aux phénomènes de résonance, liés aux impédances passives, ils joueraient le simple rôle de frein sélectif, par rapport au moteur qu'est le micro.
D'où la confusion usuelle entre "sonorité du micro" et "réseau d'impédances", alors que ce réseau ne fait que mêler circuits internes et externes au micro.
C'est cette confusion qui fait que Charles Besnainou (du LAM de Paris) me déclarait - à tort - que la sonorité du micro était "d'ordre culturel".
(formulation, certes, valable dans l'absolu, mais pourtant soumise à certaines contingences absolues irréfutables).  

Il est donc clairement établi ici que la sonorité ou timbre propre à un micro ne dépend que de la distribution du coefficient d’influence mutuelle dans la fenêtre de lecture dudit micro.
(à laquelle on pourrait éventuellement ajouter l'emplacement du point de pincement de la corde, plus caractéristique du musicien que du micro)
.

NB: les esprits chagrins, nostalgiques de leur savoir dépassé, rétorquerons bien que: le "son d'un micro" n'est que la conséquence de son impédance interne!
Que nenni, Messeigneurs!

  • La fenêtre d'un micro "dessine" la sonorité.
  • Alors que les impédances (y compris les impédances concaténées) la "colorent" , indépendamment de la position du-dit micro et du point d'ébranlement de la corde.

CQFD



Haut de page


Poil à gratter - Itching powder



  •  Le moindre sera que tout ce qui a été écrit jusqu'à présent, et qui ignore les deux paramètres caractéristiques (pour mon oreille et confirmés ici par raisonnement) , n'est qu'une collection d'incantations stériles.

  • Le vulgaire est la vague notion de fenêtre, associée par les "pseudo-intellectuels de la gratte" à une idée de volume sonore plus ou moins important.
    "Ma" fenêtre agit sur la sonorité, en plus du volume.

  •  Mais le pire est la réaction du lecteur, candide, mais pugnace:

Je cite le dialogue épique, dans toute sa crudité édifiante:

"Hé, Monsieur le beau parleur, Monsieur le prétentieux, vous prétendez qu'un "humbucker" sonne comme un "single coil", que la nature des aimants, des pièces polaires, du fil, des bobines etc., n'a aucun rôle dans la sonorité d'un micro?
Vous vous payez ma tête, Monsieur l'emberlificoteur!"

"Que nenni, Monsieur le lecteur adoré, mais légitimement rétif!

Je dis seulement que, dans le cas d'un ensemble de micros réels, il me suffirait de mesurer l'influence réciproque de l'ensemble de micros sur une corde, point par point, pour pouvoir décrire la sonorité de l'ensemble de micros".

fin de citation

Quant à l'impédance électrique interne, son rôle sera confondu avec celui de l'électronique embarquée, rôle donc "de coloration secondaire".

Enfin, seuls les différents "bruits" non provenant des cordes, tels ceux qui proviendraient des mouvements de spires plus ou moins jointives, de mouvements ou de chocs sur le micro, ne sont pas concernés par la présente étude, mais plutôt par celle de l'impédance interne du micro.

Attendez-vous donc au pire!




Haut de page


Avez-vous aimé ce site ? Désirez-vous le recommander à un ami ?

Haut de page

Mise à jour, par Jean-Pierre "lbop" Bourgeois, Ingénieur-conseil ©
 

 Page réalisée sur Mac , et vérifiée avec Firefox, Mac et PC Firefox 2